【推荐1】在每个小正方形边长为1的网格中，△ABC的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上，以AB为直径构造半圆⊙O，仅用无刻度的直尺在给定网格中按要求画图（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．

（1）画AC的中点F，连接OF；
（2）画弦BD，使BD平分∠CBA；
（3）在线段AB上有一点E，使得BE＝BC，画出点E．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标为，在x轴的负半轴取点A，在x轴的正半轴取点B，面积等于36，．
   
(1)求点A的坐标．
(2)如图2，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿方向向终点O运动，运动时间为t，过点P作交于点D，在的延长线上取点E，使得，连接交x轴于点G，若的面积为S，求S与t的关系式．
(3)如图3，在（2）的条件下，以为底边，在x轴的上方作等腰直角三角形，使得，，交于点K，交y轴于点Q，连接，若，求点K坐标．

【推荐2】综合实践与探究：
如图1，边长为6的正方形的对角线交于点O，边所在的直线上有两个动点P、Q，，和交于点N．

   【观察发现】

(1)在P、Q运动的过程中．
①和的度数关系是______；（填“相等”或“不一定相等”）
②如图1，若点Q运动到的中点时， ______；
【探究迁移】
(2)如图2，若点P运动到线段上，和交于点M．

①求的值；
②若P为的3等分点时，求的长；
【拓展应用】
(3)如图3，图4，若所在直线与所在直线交于点M，所在直线与所在直线交于点E，请直接判断和的数量关系和位置关系，并直接写出当点P运动到的3等分点时，的长．

【推荐2】综合与实践
问题提出
如图，在四边形中，，，，分别是，，，的中点，求证：四边形是平行四边形．
   
探究展示
某学习小组的解题思路如图：
反思交流
(1)上述解题思路中的“依据”、“依据”分别是什么？
依据：______ ；
依据：______ ．
(2)若四边形满足“”的条件，试判断四边形的形状，并说明理由．
(3)要使四边形为矩形，则四边形需满足的条件是：______ ．
拓展思考
(4)如图，和都是等腰直角三角形，，点，分别是，的中点，连接，．请用等式表示与的数量关系，并证明．

【推荐3】问题提出：
如图1，在四边形ABCD中，，，若E，F分别为AB，CD的中点，则．

(1)问题探究：
小明同学进行了如下的推理：连接AF并延长AF交BC的延长线于点G．由AB=CD，AD=BC，根据定理　①　，可得四边形ABCD是平行四边形，∴，∴，∠DAF=∠G，又DF=CF，∴，∴，，又AE=BE，根据定理　②　有，．
请补全问题探究：定理①是______，定理②是______．（请将正确答案前面的序号填写在横线上）
A．三角形的中位线等于第三边的一半；
B．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
C．三角形的中位线平行于第三边；
D．两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
(2)拓展应用：
①如图2，在四边形ABCD中，，，E，F分别AB，CD的中点，判断线段EF，AD，BC之间的数量关系，并说明理由．
②如图3，已知直线l，且这两条平行线间的距离为4，．点P为直线l上一动点，连接BP，点C为BP的中点，连接AC，作交直线l于点D，连接AD．设的面积为S，当时，直接写出线段AD长度的取值范围．