【推荐1】在三角形ABC中，点D在线段AB上，DE∥BC交AC于点E，点F在直线BC上，作直线EF，过点D作直线DH∥AC交直线EF于点H．

（1）在如图1所示的情况下，求证：∠HDE＝∠C；
（2）若三角形ABC保持不变，D，E两点的位置也不变，点F在直线BC上运动．
①当点H在三角形ABC内部时，试说明∠DHF与∠FEC的数量关系；
②当点H在三角形ABC外部时，①中结论是否仍然成立？若不成立，∠DHF与∠FEC又有怎样的数量关系？请在备用图中画图探究，并说明理由．

【推荐2】已知：如图所示，，，求证：

完成下面的证明：
证明：∵ （已知），
∴ _______（       ），
∴ （       ）．
又∵（       ），
∴________（       ），
∴ （       ）．

【推荐3】已知:如图,，试探求与的位置关系．并说明理由．

【推荐1】如图，在中，，点D是的中点．

   
求证：．
下面是两位同学两种添加辅助线的方法：

   
请选择一位同学的方法，完成证明．

【推荐2】如图，AC是平行四边形ABCD的对角线．
（1）利用尺规作出AC的垂直平分线（要求保留作图痕迹，不写作法）；
（2）设AC的垂直平分线分别与AB，AC，CD交于点E，O，F，求证：以A、E、C、F为顶点的四边形为菱形．

【推荐3】如图1，，，，，垂足为F．

（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）如图2，延长到G，使得，求证：．

【推荐1】已知：如图，在平行四边形中，与的角平分线的交点恰好在边上，延长交的延长线交于点，求证：．

【推荐2】如图：已知AD平分∠BAC,∠B+∠C=180°

(1)如图①,当∠B=90°时，求证：DB=DC；
(2)如图②,如果∠ABD<90°时,(1)中的结论还成立吗?如果成立，请给出证明，如果不成立，请举反例说明；
(3)如图③,四边形ABDC中,∠B=45°,∠C=135°，DB=DC=1，则AB−AC=___.

【推荐3】如图所示，在中，，O为的中点．点M、N分别在线段上移动，移动中保持．
   
(1)连接，求的长；
(2)请判断的形状，并证明你的结论．
(3)请直接写出“两线段之积”与“线段长”的等量关系式．