【推荐1】如图，P是等边△ABC内的一点，且PA＝5，PB＝4，PC＝3，将△APB绕点B逆时针旋转60°，得到△CQB，连接PQ．
（1）求证：△PBQ是等边三角形；
（2）求∠BPC的度数；
（3）求△ABC的面积．

【推荐2】如图，在中，，．于点D．动点P从点A出发，以的速度沿边向点D匀速运动，当点P不与点A、B重合时，过点P作交折线于点Q，将线段绕点Q逆时针旋转得到线段．连接，设点P的运动时间为，回答下列问题．

   

(1)直接写出        ；
(2)当点Q在边上时，的长为          （用含x的代数式表示）；
(3)当点M落在边上时，求x的值；
(4)在点P运动的过程中，作点M关于直线的对称点N，连接，设四边形与重叠部分图形的面积为，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

【推荐3】综合与实践：
已知：等边．

(1)如图1，D为线段上一点，，交于点E．可知为______三角形．
(2)D为线段上一点，F为线段延长线上一点，且．
①当点D为的中点时，如图2，猜想线段与的数量关系为______．
②当D为上任意一点，其余条件不变，如图3，猜想线段与的数量关系？并说明理由．
③在等边三角形中，点D在直线上，点F在直线上，且．若的边长为2，，求的长为______．

【推荐1】在中，，作于点F，F为中点，于点H．
   
(1)如图1，点E在线段上，交于点M，，则　　；
(2)如图2，取中点D，连接．
①若点E在线段上，求证：；
②若点E在直线上，，求的长

【推荐2】规定：对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形
探究：如图1，四边形是垂美四边形．

(1)若，，则四边形的面积为_______．
(2)求证：
(3)如图2，在外侧，分别以为直角边构造等腰和等腰，连接，点F为中点，连接，若，，，求的长．

【推荐3】【学习心得】
（1）小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，长为半径作辅助圆，则，两点必在上，是的圆心角，是的圆周角，则　　．
【初步运用】
（2）如图2，在四边形中，，，求的度数；
【方法迁移】
（3）如图3，已知线段和直线，用直尺和圆规在1上作出所有的点，使得（不写作法，保留作图痕迹）；
【问题拓展】
（4）①如图4①，已知矩形，，，为边上的点．若满足的点恰好有两个，则的取值范围为　　，②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长．

【推荐1】已知在矩形ABCD中AB=4,AD=6,点E是边AD上的一个点(与点A,D不重合)．连接CE，作∠CEF=90°，交直线BC点F，点G为线段EF的中点．

(1)如图1，若点E是AD的中点，四边形FHAB是矩形，求证：△HEF∽ΔDCE；
(2)如图2，若将边AD向左平移1个单位得平行四边形A′BCD′，当点G落在边A′B上时，求A′E的长；
(3)如图3，连接DF，点H是DF的中点，连接GH，EH，是否存在点E，使△EGH为等腰三角形？若存在，直接写出DE^的值.

【推荐2】在正方形中，点G是边上的一个动点，点F、E在边上，且，的延长线相交于点P．
   
(1)如图1，当点E与点C重合时，求的度数；
(2)如图2，当点E与C不重合时，过D作于点N，若，求长；
(3)在（2）的条件下，连接，取的中点M，连接，在点G的运动过程中，求的值．

【推荐3】如图，已知矩形中，，，点O是边的中点，点E是矩形内一个动点，且．

(1)当时，连接、，直接写出的度数；
(2)当时，连接，若，求的长；
(3)当时，将线段绕点D逆时针旋转后，得到线段，点P是线段的中点，当点E在矩形内部运动时，求点P运动路径的长度．

【推荐2】如图，在等腰△ABC中，，，以BC为直径作⊙O交AB于点D，交AC于点G，过点D作，EF交AC于点F，交CB的延长线于点E．

(1)求证：ED是⊙O的切线；
(2)求的值．

【推荐3】已知，在正方形中，点，分别为上的两点，连接、，并延长交于点，连接，为上一点，连接、，.

(1)如图1，若为的中点，，且，求线段的长；
(2)如图2，若，过点作于点，求证：；
(3)如图3，若，为线段（包含端点、）上一动点，连接，过点作于点，将沿翻折得，为直线上一动点，连接，当面积最大时，直接写出的最小值．