【推荐1】如图，在正方形中，E，F分别为边上的中点，和相交于点P．

(1)求证：；
(2)求证：；
(3)求证：．

【推荐2】如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝5，点D是边AB上的一个动点，连接CD，过C点在上方作CE⊥CD，且CE＝CD，点P是DE的中点．

（1）如图①，连接AP，判断线段AP与线段DE的数量关系并说明理由；
（2）如图②，连接CP并延长交AB边所在直线于点Q，若AQ＝2，求BD的长．

【推荐3】问题背景：

如图1，在四边形中，，，．E，F分别是上的点，且．探究图中线段之间的数量关系，并说明理由．
拓展应用：
如图2，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度，同时舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度各自前进2小时后，在指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，两舰艇与指挥中心之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．

【推荐1】在△ABC中，∠A=60°，BD，CE是△ABC的两条角平分线，且BD，CE交于点F．

(1)用等式表示BE，BC，CD这三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(2)当∠ABC=_____°时，BF=CA．

【推荐3】在一次数学兴趣小组活动中，小亮利用同弧所对的圆周角及圆心角的性质探索了一些问题，下面请你和小亮一起进入探索之旅．
       
【问题探索】
（1）如图1，点A、B、C、D在上，点E在外，且．则     ，     ，     （填“＞”、“＜”或“＝”）
操作实践】
（2）如图2，已知线段和直线m，用直尺和圆规在直线m上作出所有点P，使．（要求：用无刻度的直尺与圆规作出点P，保留作图痕迹，不写作法）
【迁移应用】
（3）请运用探索所得的学习经验，解决问题：如图3，已知的半径为4，，点A为优弧上一动点，交AC的延长线于点D．
①求的度数；
②面积的最大值．

【推荐1】我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)写出你所知道的四边形中是勾股四边形的两种图形的名称 ，         
(2)如图，将绕顶点B按顺时针方向旋转后得到，连接、，若，试证明：．（即四边形是勾股四边形）

【推荐3】四边形若满足两组对角互补，即，，则我们称该四边形为“对角互补四边形”
   
(1)【思路点拨】
如图1，四边形为对角互补四边形，，．
求证：平分．
小云同学是这么做的：延长至，使得，连，可证明，得到是等腰直角三角形，由此证明出平分．
①还可以知道、、三者数量关系为：_________；
②请你用旋转的知识描述如何旋转得到 _________；
(2)【变式拓展】
如图2，四边形为对角互补四边形，且满足，，请你仿照小云的做法，证明：
平分；
②；
(3)【能力提升】
如图3，四边形ABCD为对角互补四边形，且满足，，则、、三者数量关系为：_________．