【推荐1】如图，直线，点，点在直线上，点在直线上，连接．

（1）在直线上求作点，使得；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，若，求的长．

【推荐2】如图，在正方形中，对角线．

（1）在上求作一点，使得；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．）
（2）在（1）中，连接，于，交边于点，，求的长．

【推荐3】如图，中，，平分，交于点，于点，，的周长为．
   
(1)求证：；
(2)求的周长．

【推荐1】如图，是四边形外接圆的直径，，延长到使得，作射线交的延长线与交与．

(1)求证：是等腰三角形；
(2)求证：与相切；
(3)若，求的周长．

【推荐2】在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴、y轴分别于A、B两点，交直线于．

(1)求点A、B的坐标；
(2)若Q为x轴上一动点，为等腰三角形，直接写出 Q点坐标；
(3)点C在直线上，过C作轴于E，交直线于D，我们规定若C，D，E中恰好有一点是其他两点所连线段的中点，则称C，D，E三点为“美好点”，求出C，D，E三点为“美好点”时C点的坐标．

【推荐3】如图1，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，AD⊥BC于点D，点E在AC边上，连结BE．

（1）若AF是△ABE的中线，且AF＝5，AE＝6，连结DF，求DF的长；
（2）若AF是△ABE的高，延长AF交BC于点G．
①如图2，若点E是AC边的中点，连结EG，求证：AG＋EG＝BE；
②如图3，若点E是AC边上的动点，连结DF．当点E在AC边上（不含端点）运动时，∠DFG的大小是否改变，如果不变，请求出∠DFG的度数；如果要变，请说明理由．

【推荐1】如图，在▱ABCD中，E是对角线BD上的一点，过点C作CF∥BD，且CF＝DE，连接AE，BF，EF．
（1）求证：△ADE≌△BCF．
（2）若∠BFC﹣∠ABE＝90°，sin∠ABE＝，BF＝4，求BE的长．

【推荐2】如图，是边长为4的等边三角形，将沿直线平移到的位置，连接.
   
(1)求证:四边形是平行四边形；
(2)求在平移过程中扫过的面积.

【推荐3】已知：如图，以为边在矩形内作等边三角形，连接并延长交于点，连接，过点作，交的延长线于点．

求证：；
若，则四边形是怎样的特殊四边形？说明理由．

【推荐1】如图，在中，是 上一点，且，、是上的点，且，，．求的长．

【推荐2】如图，已知，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过圆心O作AC的平行线OE，交BC于点E，连接DE并延长交AB的延长线于点F．

(1)求证：DF是⊙O的切线；
(2)若BF＝1，DF＝3，求⊙O的半径；
(3)若DC＝DE＝1，求AD的长．

【推荐3】如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点，且，连接，交于点

(1)求证：；
(2)若，求的值；
(3)若点P恰好落在以为直径的圆上，求的值．