【推荐1】如图，抛物线（）与x轴交于点，，与y轴交于点．

(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)若P为线段上的一个动点，过点P作轴于点M，求四边形的面积的最大值和此时点P的坐标．

【推荐2】综合与探究
如图1，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)如图2，若P是直线下方抛物线上的一动点，连接，过点P作于点D，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标和线段的长；
(3)若E是抛物线上的任意一点，过点E作轴，交直线于点Q，抛物线上是否存在点E，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，已知二次函数的图像与轴交于A、两点（点在点A的左侧），顶点为，点在此二次函数图像的对称轴直线上，过点作轴的垂线，交对称轴右侧的抛物线点．
   
(1)求此二次函数的解析式和点的坐标；
(2)当点的坐标为时，连接、．求证：平分；
(3)点在抛物线的对称轴上且位于第一象限，若以A、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，求点的横坐标．

【推荐1】已知∶如图1，点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，．

(1)若，，求的长；
(2)求证：；
(3)如图2，若，，点F在线段上，且，点M、N分别是射线、上的动点，在点M、 N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请求出这个最小值；若不存在，写出你的理由．

【推荐2】如图，在中，．

(1)如图1，若，，求的面积；
(2)如图2，为外的一点，连接，且，．过点作交的延长线于点．求证：．
(3)如图3，在（2）的条件下，作平分交于点，过点作交的延长线于点．点为直线上的一个动点，连接，过点作，且始终满足，连接．若，请直接写出取得最小值时的值．

【推荐3】已知抛物线(a，c为常数，)与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点B的坐标是，点C的坐标为．
(1)求a，c的值及抛物线顶点坐标；
(2)点C关于x轴对称点为D，P为线段上的一个动点，连接．
①当最短时，求点P的坐标；
②若Q为线段上一点，且，连接，当的值最小时，求的长．

【推荐1】已知四边形ABCD内接于⊙O．

（1）如图1，若AB=3，BC=4，AC=5，求⊙O的半径的长；
（2）如图2，若AC⊥BD，且AD=8，BC=6．求⊙O的半径的长以及AB与CD满足的数量关系．

【推荐2】已知：如图，正方形与正方形．

(1)如图①，求证：；
(2)如图②，求的值；
(3)如图③，分别取的中点，试探究：与的关系，并说明理由．

【推荐1】抛物线（为常数，）与轴交于，两点，与轴交于点．设该抛物线的顶点为，其对称轴与轴的交点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）为线段（含端点）上一点，为轴上一点，且．
①求的取值范围；
②当取最大值时，将线段向上平移个单位长度，使得线段与抛物线有两个交点，求的取值范围．

【推荐2】综合与探究：
如图，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点B在点A的右侧），且与y轴交于点C．

(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)如图1，若M(m，y₁)，N(n，y₂)是第四象限内抛物线上的两个动点，且m＜n，m+n＝4．分别过点M，N作x轴的垂线，分别交线段BC于点D，E．判断四边形MDEN的形状，并求其周长的最大值；
(3)如图2，在（2）的条件下，当四边形MDEN的周长有最大值时，若x轴上有一点H(2m，0)，抛物线的对称轴与x轴相交于点F，试探究在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝2∠OCH？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，抛物线与x轴的正半轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且．

(1)求抛物线的解析式；
(2)连接，点D在抛物线上，且点D到直线的距离为，直接写出点D的横坐标；
(3)如图2，向上平移直线BC交抛物线于P、Q两点，直接、分别与y轴的负半轴交于M、N两点，求的值．