1 . 如图，等边的边长为4，是边上的中线，是边上的动点，是边上一点，若，当取得最小值时，则_________．

          

2 . 如图是一个二级台阶，每一级台阶的长、宽、高分别为、、．和是台阶两个相对的端点，在点有一只蚂蚁，想到点去觅食，那么它爬行的最短路程是（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，点P为内部的格点，在图①、图②给定网格中按要求作图，只用无刻度的直尺，保留适当的作图痕迹．

(1)在图①中，作的边上高，垂足为H，则______，_______；
(2)在②中的边上确定一点M，边上确定一点N，连接、，使的周长最短，最短周长为________．

4 . 如图①，分别以的边为边向外作等边、等边，连接，易证：（无需证明）；
探究：如图②，点A是线段上方的一个动点，分别以的边为直角边向外作等腰直角、等腰直角，且均以A点为直角顶点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，线段的最大值是______．

7 . 如图，在正方形中，为边上一动点（点不重合），是等腰直角三角形，，连接．若时，则周长的最小值为（       ）

A．

B．

C．

D．

8 . 如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到，分别连接，，，则的最小值为_____

9 . 如图，是线段上一点，和是位于直线同侧的两个等边三角形，连接，若为的中点，则的最小值为______．

10 . 综合与实践
一段平直的天然气主管道l同侧有A，B两个小镇，A，B到主管道l的距离分别是和．现计划在主管道上选择一个合适的点P，向A，B两个小镇铺设天然气管道，使铺设管道的总长度最短．
数学小组设计了两种铺设管道的方案：

(1)方案一：如图1，设该方案中管道长度为，且（其中），_________（用含x的式子表示）．
(2)方案二：如图2，设该方案中管道长度为，且（其中点与点B关于l对称，与l交于点P），为了计算的长，过点A作的垂线，垂足是D，如图3所示，计算得_________（用含x的式子表示）．
(3)归纳推理：
①当时，比较大小：_________（填“>”、“=”或“<”）；
②当时，比较大小：_________（填“>”、“=”或“<”）
(4)方案选择：请你参考方框中的方法指导，就x的取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？

方法指导 当不易直接比较两个正数的大小时，可以对它们的平方进行比较． 要比较的大小，比较的大小即可． 当时，，即 当时，，即 当时，，即