【推荐1】如图1，在中，，，，分别为，边上一点，连接，且，将绕点在平面内旋转．

(1)观察猜想
若，将绕点旋转到如图2所示的位置，则的值为______．
(2)类比探究
若，将绕点旋转到如图3所示的位置，求的值．
(3)拓展应用
若，为的中点，，当中，请求出的值．

【推荐3】已知四边形是正方形，点点分别是边所在的直线上的点，，连接，与直线相交于点H．过点作，并且使，连接．

(1)如图，当点点分别在边上时，与的数量关系是________，位置关系是________；
(2)如图，当点点分别在延长线上时，（）中结论是否仍然成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图，当点点分别在延长线时，（）中结论是否仍然成立？请直接写出你的结论．

【推荐1】如图，一次函数y=2x-1与反比例函数在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，与y轴相交于点C，且AB=3BC．
（1）求点A的坐标及反比例函数的解析式．
（2）现以点A为中心，把线段AC逆时针旋转90°得到AC′．请直接写出C′的坐标，并判断C′是否在已知的双曲线上．

【推荐3】在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连结BD，过点D作DF⊥AC于点F．

（1）如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC．
（2）如图2，若点F在线段CA的延长线上，∠DAF＝∠DBA，请判断线段AF与BE的数量关系，并说明理由．

【推荐1】如图，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADE，将BC绕点C顺时针旋转90°得CG，DG交EC于O点
（1）求证：DO＝OG；
（2）若∠ABC＝135°，AC＝2，求DG的长；
（3）若∠ABC＝90°，BC＞AB，且＝时，直接写出的值．

【推荐2】如图，在中，且，为边上任意一点，与相交于点，过点作于点，连接．
   
(1)如图1，若，，求线段的长度；
(2)如图2，当点与点重合时，求证：．

【推荐3】如图1，在等腰中，，是的中点，为边上任意一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，交于点．

(1)若，，求的长；
(2)如图2，点恰好是的中点，连接，求证：．

【推荐1】如图，正方形中，是对角线上的一个动点（不与重合），连结，将绕点顺时针旋转到，连结交于点延长线与边交于点．

(1)连结，求证：；
(2)若正方形的边长为4，且，求线段的长；
(3)求证：．

【推荐2】解答下列问题．
(1)【问题探究】如图 ，有公共顶点 的两个正方形 和正方形 ，，连接 与 ，请判断线段 与线段 之间有怎样的数量关系和位置关系，并请说明理由．

(2)【理解应用】如图 ，有公共顶点 的两个正方形 和正方形 ，，，将正方形 绕点 在平面内任意旋转，当 ，且点 ，， 三点在同一条直线上时，请直接写出 的长 ．

(3)【拓展应用】如图 ，有公共顶点 的两个矩形 和矩形 ，，，，，将矩形 绕点 在平面内任意旋转，连接 ，，点 ， 分别是 ， 的中点，连接 ，当点 ，， 三点在同一条直线上时，请直接写出 的长 ．