【推荐2】综合与实践
【模型探索】如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，若，则与的数量关系为________．
   
【模型应用】如图2，将边长为2的正方形折叠，使点B落在边的中点E处，点A落在点F处，折痕交于点M，交于点N，则线段的长度是_________
【知识迁移】如图3，在矩形中，，点E在边上，点P，Q分别在边，上，且，则的值为________
【综合应用】如图4，正方形的边长为12，点F是上一点，将沿折叠，使点B落在点处，连接并延长交于点E．若，求的长度．

【推荐2】如图，已知抛物线，点，在此函数图象上，动点P位于点O、B之间的抛物线上（不与点O，B重合），过点B作直线AP的垂线，垂足为Q．
(1)如图1，求该二次函数的解析式；

(2)尺规作图：当最大时，在图2中作出此时的点P；

(3)如图3，连接OB，交直线AP于点M，直接写出的最大值．

【推荐3】在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：在图形，上找到任意两点，，使得在射线上存在点，使得，为正数，则称点为图形，图形的倍长点．
(1)已知点，直线；
①点为点，直线的        -倍长点．
②点为点，直线的        -倍长点．
(2)图形是圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若点为图形，图形的倍长点，请画出所有满足题意点所围成的图形，并求该图形的面积．
(3)图形为圆心为，直径为的圆，图形为点，，所围成的三角形，若存在，，线段上任意点均为圆形，图形的倍长点，请直接写出的范围．

【推荐3】【问题初探】
（1）李老师在数学课上提出了一个问题：
如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，其中，连接，过点作轴于点，过点作轴于点，当时，试用含的代数式表示的长度．
“乘风破浪”小组的思路是：如图2，利用旋转变换构造特殊角的思路，延长至，使，连接，相当于将绕点顺时针方向旋转至的位置，可得，从而得到，把问题转化成探索线段与的数量关系，请写出完整的解题过程；
【类比分析】
（2）李老师总结了“乘风破浪”小组的解法是运用了转化的数学思想，将分离的普通角拼成了我们熟悉的特殊角，为了让学生进一步体会这一思想方法，李老师又提出了一个问题，请你解答：
如图3，在等边中，，点是的中点，是边上一动点，连接，作，交边于点，当时，求的长；
【拓展应用】
（3）最后，李老师留了一道作业题，编制一道利用此种数学思想方法解决问题的题目，“披荆斩棘”小组编制的题目如下，请你解答：
如图4，在平面直角坐标系中，点的坐标是是轴上的一动点，将绕点逆时针方向旋转并延长至二倍得到线段，当时，求点的横坐标．