【推荐1】综合与实践
如图1， 在正方形中， 点为边上一点， 连接，点为的中点， 过点作于点．连接，．
观察猜想：
（1） ①与的数量关系是         ；②和的数量关系是         ．
探究发现：
（2） 将图中绕点C逆时针旋转， 使点恰好落在上， 将线段绕点旋转得到线段，连接，，，如图所示，探究和的数量关系，并说明理由；
（3）探究在（2）的条件下，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

【推荐2】已知：和均为等腰直角三角形，，，，连接.

（1）如图1所示，线段与的数量关系是_____，位置关系是_____；
（2）在图1中，若点M、P、N分别为的中点，连接，请判断的形状，并说明理由；
（3）如图2所示，若M、N、P分别为上的点，且满足，，连接，则线段长度是多少？

【推荐3】在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AB=10，点D是射线CB上的一个动点，△ADE是等边三角形，点F是AB的中点，连接EF．
（1）如图，点D在线段CB上时，
①求证：△AEF≌△ADC；
②连接BE，设线段CD=x，BE=y，求y²﹣x²的值；
（2）当∠DAB=15°时，求△ADE的面积．

【推荐1】如图，是的直径，点C是上一点，与的延长线相交于点P，平分，于点D．

(1)求证：是的切线．
(2)若，，求阴影部分的面积．（结果保留根号及）

【推荐2】 将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．设OM =m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．

（Ⅰ）如图1，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；
（Ⅱ）如图2，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；
（Ⅲ）当S=时，求点M的坐标（直接写出结果即可）．

【推荐1】如图，以为圆心，为半径的圆与轴交于点，在上，．

（1）求的度数；
（2）为轴正半轴上一点，且，连接，试判断与的位置关系，并说明理由；
（3）有一动点从点出发，在上按顺时针方向运动一周，当时，求动点所经过的弧长，并写出此时点的坐标．

【推荐2】已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点，

   
(1)求的长；
(2)若，求的度数；
(3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是______．

【推荐3】如图1，在矩形中，，，点P以每秒个单位长度的速度从点A向点B运动，点Q以每秒1个单位长度的速度从点C向点B运动，两点同时出发，当点P到达点B时都停止运动．设运动时间为，是的外接圆．
   
(1)当时．
①的半径是______；
②判断直线与的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，当与相切时．
①求t的值和的长；
②M是优弧上一动点，交直线于点N，连接，写出的最小值．

【推荐1】如图1，在平面直角坐标系中，已知△ABC中，∠ABC＝90°，B(4，0)，C(8，0)，tan∠ACB＝2，抛物线y＝ax²+bx经过A，C两点．

(1)求点A的坐标及抛物线的解析式；
(2)如图2，过点A作AD⊥AB交BC的垂线于点D，动点P从点A出发，沿线段AB向终点B运动，同时点Q从点C出发，沿线段CD向终点D运动，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，过点P作PE⊥AB交AC于点E．
①过点E作EF⊥AD于点F，交抛物线于点G．当t为何值时，线段EG取得最大值？最大值是多少？
②连接EQ，在点P，Q运动过程中，t为何值时，使得△CEQ与△ABC相似？

【推荐3】在如图所示的网格中仅用无刻度的直尺完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按要求完成下列问题：

(1)画格点，使；
(2)画的高；
(3)将线段绕点逆时针旋转得到线段，画出线段；
(4)在上找一点，使.