【推荐1】如图，已知线段，于点，且，是射线上一动点，，分别是，的中点，过点，，的圆与的另一交点（点在线段上），连结，.

（1）当时，求的度数；
（2）求证：；
（3）在点的运动过程中，当时，取四边形一边的两端点和线段上一点，若以这三点为顶点的三角形是直角三角形，且为锐角顶点，求所有满足条件的的值.

【推荐2】如图，在菱形中，，，点从点出发，以的速度沿运动，过点作射线的垂线，交射线于点，在点运动过程中，设运动时间为，与菱形重叠部分的面积为．

(1)写出线段的长（用含的式子表示）．
(2)当平分菱形面积时，求的值．
(3)求与的函数关系式，并写出自变量的取值范围．

【推荐3】如图1，在中，，，．点P从点B出发，沿以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，在线段的延长线上取一点Q，使得，以为斜边向下作，其中，设点P的运动时间为t秒（）．

(1)求证：；
(2)当点N落在边上时，求t的值；
(3)当被的边分成的两部分面积比为1∶8时，求t的值；
(4)如图2，作点N关于的对称点，连接，当直线与的直角边垂直时，直接写出t的值．

【推荐1】四边形中，．
   
(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)是上一点，连接，在上，连接、，，，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，．求线段的长度．

【推荐2】如图，等边与等腰三角形有公共顶点，其中，，连接为的中点，连接、．
   
(1)为了研究线段与的数量关系，将图1中的绕点旋转一个适当的角度，使与重合，如图2，请直接写出与的数量关系；
(2)如图1，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)如图3，若，求的面积．

【推荐3】如图，M为线段AB中点，AE与BD交于点C，∠DME＝∠A＝∠B＝45°，且DM交AC于点F，ME交BC于点G．

(1)求证：△AMF∽△BGM；
(2)连接FG，若AB＝4，AF＝3，求FG的长；
(3)在（2）的条件下求点M到线段FG距离．

【推荐1】如图，⊙的半径，四边形内接圆⊙，于点，为延长线上的一点，且．

(1)试判断与⊙的位置关系，并说明理由：
(2)若，，求的长；

【推荐2】如图，内接于，，是的直径，点是延长线上的一点，且．

(1)求证：是的切线；
(2)若与交于点，，且，求阴影部分的面积．

【推荐1】如图，AB是⊙O直径，以AB为边作等腰△ABC，且AB＝BC，⊙O与边AC相交于点D，过点D作DE⊥BC于点E，并交AB的延长线于点F．

(1)求证：DF是⊙O的切线．
(2)若DF＝2，∠F＝45°，求由线段BF、FD及所围成的图形（阴影部分）面积．
(3)若tanA，BD＝1，求FD的长．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接AE，将矩形沿AE翻折，使点B落在CD边F处，连接AF，在AF上取一点O,以点O为圆心，OF为半径作⊙O与AD相切于点P.AB=6，BC=

（1）求证：F是DC的中点.
（2）求证：AE=4CE.
（3）求图中阴影部分的面积.