【推荐1】下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半． 已知：如图，点D，E分别是的边的中点． 求证：，且．
方法一 证明：如图，过点C作，交的延长线于点F．	方法二 证明：如图，延长到点F，使得，连接．

【推荐2】如图1，点M，N分别是正方形的边、的中点，连接、．
   
(1)求证：①；②；
(2)将沿翻折得到，延长交的延长线于点E，如图2，求证：是等腰三角形；
(3)在（2）的条件下，求．

【推荐3】已知，如图，点B，E，C，F在同一直线上，，且，．问AC和DF的关系．

【推荐1】如图，在中，是边上的高线，是中线，且于，．

(1)求证：是的中点；
(2)求证．

【推荐2】如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．

(1)在图①中，作的中线．
(2)在图②中，在边上找一点E，连结，使．
(3)在图③中，在边上找一点F，连结BF，使的面积为．

【推荐3】如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，过点B作BF⊥AB交AC的延长线于点F．

（1）求证：∠BAC＝2∠CBF；
（2）若AB＝3，CF＝2，求tan∠CBF．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于，两点，点为直线上一点，直线过点．

(1)求和的值；
(2)直线与轴交于点，动点从点开始以每秒1个单位的速度向轴负方向运动（点不与点，点重合）．设点的运动时间为秒．
①若点在线段上，且的面积为10，求的值；
②是否存在的值，使为等腰三角形？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，在平面直角坐标系xoy中，点A的坐标为（4，8），点B的坐标为（4，0）．

(1)只用直尺（没有刻度）和圆规，在AB上求作一个点P，使点P到A，O两点的距离相等（要求保留作图痕迹，不必写出作法）．
(2)求出（1）中画出的点P的坐标．

【推荐3】如图，四边形ABCD的外接圆为⊙O，AD是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线，交DA的延长线于点E，连接BD，且∠E＝∠DBC．
（1）求证：DB平分∠ADC；
（2）若CD＝9，tan∠ABE＝，求⊙O的半径．

【推荐1】如图，AD是Rt△ABC斜边上的高，若AB=4cm，BC=10cm，求BD的长．

【推荐2】如图1，在△ABC中，AB＝AC＝10，tanB＝，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当AB∥DE时（如图2），求AE的长．（提示：过点A作AH⊥BC交BC于点H）

【推荐3】【教材呈现】（1）下图是华师版八年级下册数学教材第100页的部分内容．结合图①，写出解题过程．

如图，在矩形中，，，，垂足为点E，试求的长．

【结论应用】（2）如图②，将图①中的沿翻折得到，点D的对称点为点F，分别交、于点G、H、则的值为_________．四边形的周长为_________．