【推荐1】在四边形中，和的平分线、交于边上的点且，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)连接，当四边形是矩形时，求的值．

【推荐2】学习了平行四边形的知识后，同学们进行了拓展性研究．他们发现作平行四边形一组对角的角平分线与另一组对角的顶点所连对角线相交，则这两个交点与这条对角线两侧的对角顶点的连线所围成的封闭图形是一个特殊四边形．他的解决思路是通过证明对应线段平行且相等得出结论．请根据她的思路完成以下作图和填空：
用直尺和圆规，过点作的角平分线，交于点，连接、．（只保留作图痕迹）
已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，平分，交于点．
求证：四边形是平行四边形．

证明：∵四边形是平行四边形，
∴，① ，
∴．
∵平分，平分，
∴，．
∵
∴② ，
∴．
∴，．
∴③ ，
∴四边形是平行四边形．
同学们再进一步研究发现，过平行四边形任意一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，均具有此特征．请你依照题意完成下面命题：
过平行四边形一组对角的顶点作平行线与另一组对角顶点所连对角线相交，则④ ．

【推荐3】如果有两点到一条直线的距离相等，那么称这条直线为“两点的等距线”．

(1)如图1，直线CD经过线段AB的中点P，试说明直线CD是点A、B的一条等距线．
(2)如图2，A，B，C是正方形网格中的三个格点，请在网格中作出所有的直线m，使直线m过点C且直线m是“A、B的等距线”．
(3)如图3，△ABC中，A（1，2），B（0，﹣1），C（﹣2，1）．x轴上是否存在点P_△APC＝S_△BPC，若存在，求出点P的坐标；若不存在请说明理由

【推荐1】如图，在中，E、F分别为边的中点，是对角线，过点A作，交的延长线于点G，．
求证：四边形是菱形．
   

【推荐2】如图，四边形是平行四边形，四边形和是正方形．试问：线段，有怎样的关系？并加以证明．
   

【推荐3】课本再现

思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形．

(1)为了证明该定理，小亮同学画出了图形，并写出了“已知”和“求证”，请你帮助他完成证明过程．已知：如图所示，已知平行四边形，对角线，相交于点O，且．求证：平行四边形是矩形．
(2)如图，利用尺规作的角平分线，交边于点E（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）．
(3)在（2）的条件下，延长交于点F．若，求证：四边形是正方形．

【推荐1】如图，在平行四边形中，E是边上一点，，连接并延长与的延长线交于点F，与交于点G，连接.

(1)若，试判断四边形的形状，并证明；
(2)若，求的长.

【推荐2】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．

(1)求证：四边形OEFG是矩形；
(2)若AD=10，AO=8，求OE和OG的长．

【推荐3】如图，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，过点C作CE//BD交AB的延长线于点E，连接DE，与BC交于点O．

(1)求证：B是AE的中点．
(2)若OE＝OC＝6.5，BD＝12，求AE的长．