【推荐1】综合与实践；
【问题情境】为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（），，．
【探究实践】
老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交，于点M，G．老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现．
（1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由．
（2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”，请你判断小明的结论是否正确，并说明理由．
【拓展应用】
（3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，，请你帮小慧求出的长．

【推荐2】如图，已知：等腰梯形中，，，以A为圆心，为半径的圆与相交于点E，与相交于点F，联结，设分别与相交于点G、H，其中H是的中点．

(1)求证：四边形为平行四边形；
(2)如图1，如果，求的值；
(3)如图2，如果，求的余弦值．

【推荐1】如图，矩形ABOC在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴负半轴上，点C在y轴正半轴上，OA，OB的长是关于x的一元二次方程的两个根．解答下列问题：
（1）求点A的坐标；
（2）若直线MN分别与x轴，AB，AO，AC，y轴交于点D，M，F，N，E，，tan∠AMN＝1，求直线MN的解析式；
（3）在（2）的条件下，点P在第二象限内，在平面内是否存在点Q，使以E，F，P，Q为顶点的四边形是正方形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】如图，正方形PQMN在△ABC内，点P在AC上，点Q、M在AB上，N在△ABC内，连接AN并延长交BC于G，过G点作GD∥AB交AC于D，过D、G分别作DE ⊥AB，GF⊥AB，垂足分别为E、F．
（1）求证：DG=GF；
（2）若AB=10，S_△ABC=40，试求四边形DEFG的面积．

【推荐3】如图1，正方形ABCD与正方形AEFG的边AB，AE(ABAE)在一条直线上，正方形AEFG以点A为旋转中心逆时针旋转，设旋转角为α．在旋转过程中，两个正方形只有点A重合，其它顶点均不重合，连接BE，DG．
   
（1）当正方形AEFG旋转至如图2所示的位置时，求证：BE=DG；
（2）如图3，如果α=45°，AB=2，AE=．
①求BE的长；
②求点A到BE的距离；
（3）当点C落在直线BE上时，连接FC，直接写出∠FCD的度数．

【推荐1】两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠ACB=∠DFE=90°，∠A=∠FDE=60°，AC=1. 固定△ABC不动，将△DEF进行如下操作：
(1) 如图 (1)，△DEF沿线段AB向右平移(即D点在线段AB内移动)，连结DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.

(2)如图(2)，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由.

(3)如图(3)，△DEF的F点固定在AB的中点，然后绕F点按顺时针方向旋转△DEF，使EF交在AC边上于M，FD交BC于N，若FM=x,FN=y,试求y关于x的函数关系式．

【推荐2】如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，已知格点正方形及格点O．

（1）将正方形向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到正方形；
（2）以O为位似中心，在点O的同侧画出正方形的位似图形，使位似比为1∶2；
（3）除了点O外，正方形和正方形还有位似中心吗？如果有，请找出来．

【推荐3】数学课上，老师要求同学们在扇形纸片OAB上画出一个正方形，使得正方形的四个顶点分别落在扇形半径OA、OB和弧AB上．有一部分同学是这样画的：如图1，先在扇形OAB内画出正方形CDEF，使得C、D在OA上，F在OB上，连结OE并延长交弧AB与G点，过点G，作GJ⊥OA于点J，作GH⊥GJ交OB于点H，再作HI⊥OA于点I．

（1）请问他们画出的四边形GHIJ是正方形吗？如果是，请给出你的证明；如果不是，请说明理由；
（2）还有一部分同学用另外一种不同于图1的方法画出的，请你参照图1的画法，在图2上画出这个正方形（保留画图痕迹，不要求证明）．