【推荐1】如图，在中，，．

(1)如图1，点为内一点，连接，过点作，，连接，，，已知，，当、、三点共线时，求四边形的面积；
(2)如图2，在上取点，连接，过点作于点，，取中点，连接，，在上取点，过点作交于点，，求证：；
(3)如图3，在上取点，连接，将沿翻折至处，在上取点，连接，过点作交于点，交于点，连接，若，，求的最小值．

【推荐3】定义：中，，则称为半余三角形，叫做半余角．

(1)如图1，⊙O中，是直径，求证：为半余三角形．
(2)下列说法正确的是          ．
①半余三角形一定是钝角三角形；
②直角三角形不可能是半余三角形；
③任何直角三角形都能分割成两个半余三角形．
(3)如图2，⊙O中，是直径，，点D是线段上一点（不与点A、点C重合），若为半余三角形，求的长．
(4)如图3，点E是直径上一点，为半余三角形，且为半余角，过点E作交于点F，若的面积为面积的7.5倍，求的值．

【推荐2】综合与实践
问题提出：

（1）如图1，在等腰中，，点是边上的中点，点、分别为边上的动点，连接，若的面积为6，，则周长的最小值为______．
问题探究：
（2）如图2，在矩形中，为对角线，若矩形的周长为12，当的值最小时，求的长？并说明理由．
问题解决：
（3）如图3是一个边长为900米的等边三角形空地（即在等边中，米），高新区管委会计划将这片空地修建成为一个公园供市民休闲放松，在修建公园时根据市广大市民．的意见作出了如下方案．
①在和上两条路上种植长为900米的鲜花带即米；
②连接交于点F，在点F处放置自动售卖机；
③过点D、F、E铺设一段圆弧形的塑胶跑道，供市民慢跑健身；
④在上修建大门M与N（大门的宽度可以忽略不计），为了方便市民进出游玩；
⑤在两个大门和自动售卖机之间铺设沥青路面．即在M、N、F三点之间铺设了沥青路；
根据以上要求，财务部门了解到塑胶跑道的铺设成本为1000元/米，沥青路面的铺设成本为200元/米，由于高新区公共建设的资金有限，财务部门给设计部门提出如下要求：“铺设的塑胶跑道所花费用最少的条件下，铺设沥青路面所花费用否存也降到最低，如果可以做出预算，求出沥青路面费用的最小值，若不存在请说明理由？”

【推荐3】如图，在等边中，D为内一点，连接，E为上一点，连接．
   
(1)如图1，若平分，求BE的长；
(2)如图2，若，且E为的中点，求证：；
(3)如图3，若，将沿翻折得到，F为上一点，，连接，当最小时，过作的垂线，P是垂线上一动点，连接，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，请直接写出的最小值．

【推荐3】如图1，正方形中，点E是边上任意一点（不与点B重合），以为边在它的外侧作正方形，点M和点P分别是这两个正方形的对称中心，连接．

(1)填空：当时，线段长的最大值是　　　　；
(2)在正方形的边上，是否存在一点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，通过证明确定所有满足条件的点Q的具体位置；若不存在，请说明理由；
(3)如图2．连接并延长，与交于点O．求的度数，并求出与的数量关系．

【推荐2】如图，为等边三角形，点B在射线上，连接，并将线段绕点A逆时针旋转至线段，再连接，；

(1)如图1，当，，时，求出线段的长；
(2)如图2，若把线段绕点A逆时针旋转到线段的位置，线段与线段的交点记为F，猜想与的数量关系，并说明理由；
(3)如图3，在（2）的条件下，若点B在射线上运动，将沿翻折到，连接，当的和取得最小值时，请直接写出的值．​​​