【推荐2】感知：如图，平分，易知：，
探究：（1）如图，平分．求证：．
应用：（2）在图中，平分，如果，则____________．

【推荐1】如图直角坐标系中直线与x轴正半轴、y轴正半轴交于A，B两点，已知，，P，Q分别是线段上的两个动点，P从O出发以每秒3个单位长度的速度向终点B运动，Q从B出发以每秒8个单位长度的速度向终点A运动，两点同时出发，当其中一点到达终点时整个运动结束，设运动时间为t（秒）．

(1)求线段的长，及点A的坐标；
(2)t为何值时，的面积为；
(3)若C为的中点，连接，以为邻边作平行四边形，
①t为何值时，点D恰好落在坐标轴上；
②是否存在时间t使x轴恰好将平行四边形的面积分成的两部分，若存在，直接写出t的值．

【推荐2】已知：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，左右作平行移动的等边三角形DEF的两个顶点E、F始终在边BC上，DE、DF分别与AB相交于点G、H．

(1)如图1，当点F与点C重合时，点D恰好在斜边AB上，求△DEF的周长；
(2)如图2，在△DEF作平行移动的过程中，图中是否存在与线段CF始终相等的线段？如果存在，请指出这条线段，并加以证明；如果不存在，请说明理由；
(3)假设C点与F点的距离为x，△DEF与△ABC的重叠部分的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出定义域．

【推荐3】在平面直角坐标系中，点，，点C是x轴负半轴上的一动点，连接BC，过点A作直线BC的垂线，垂足为D，交y轴于点E．

（1）如图（1），若，求点E的坐标；
（2）如图（2），若，连接DO，求证：DO平分；
（3）若，，过O作于G，，则的面积为______．

【推荐1】已知是等边三角形，点D是BC边上一动点，连结AD
如图1，若，，求AD的长；
如图2，以AD为边作，分别交AB，AC于点E，F．
小明通过观察、实验，提出猜想：在点D运动的过程中，始终有，小明把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的两种想法
想法1：利用AD是的角平分线，构造角平分线的性质定理的基本图形，然后通过全等三角形的相关知识获证．
想法2：利用AD是的角平分线，构造的全等三角形，然后通过等腰三角形的相关知识获证．
请你参考上面的想法，帮助小明证明一种方法即可
小聪在小明的基础上继续进行思考，发现：四边形AEDF的面积与AD长存在很好的关系若用S表示四边形AEDF的面积，x表示AD的长，请你直接写出S与x之间的关系式．

【推荐2】（1）观察推理：如图1，在中，，直线过点，点、在直线同侧，，垂足分别为、．求证：；
（2）类比探究：如图2，中，，将斜边绕点逆时针旋转至，连接，求的面积；
（3）拓展提升：如图3，，点在上，且，动点从点沿射线以速度运动，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段．当点恰好落在射线上，请直接写出点运动的时间．
   

【推荐3】已知在中，点，分别是边，上的动点，连接、交于点．
       
(1)如图1，在等边中，，求证：；
(2)如图2，在中，若，，且，，求的度数；
(3)如图3，在等边中，且，在平面内将线段绕点顺时针方向度转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，请直接写出线段，，之间存在的数量关系．

【推荐2】如图1，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，且CE=CB．

（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）连结AE并延长，交BC的延长线于点G（如图2所示），若AB=2，AD=2，求线段BC和EG的长．