【推荐1】如图，在和中，，点是边上一动点（不与重合）．

             图①                                        图②
（1）如图①所示，若，则与的数量关系为______．直线与相交所成的夹角为______度．
【解决问题】
（2）如图②，若，请判断：①与的数量关系；②直线与相交所成夹角的度数．请写出你的结论，并说明理由．
【拓展探究】
（3）在（2）的条件下，若，当四边形为轴对称图形时，请直接写出的长，不必说明理由．

【推荐2】已知四边形中，，，，，绕B点旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于E，F．

（1）当绕B点旋转到时（如图1），求证：．
（2）当绕B点旋转到F时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，线段又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并给予证明．
小明第（1）问的证明步骤是这样的：
延长到Q使，连接，
证出得到，；
再证，得到，证出，即．
请你仿照小明的证题步骤完成第（2）问的证明．

【推荐3】如图1，为等腰直角三角形，，是边上的一个动点（点与、不重合），以为一边在等腰直角三角形外作正方形，连接、．

（1）①猜想图1中线段、的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图1中的正方形，绕着点按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度，得到如图2、图3的情形．图2中交于点，交于点，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．
（2）将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形，，正方形改为矩形，如图4，且，，，，交于点，交于点，连接、，求的值．

【推荐1】如图，在等腰直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC= ， 边长为 2 的正方形 DEFG 的对角线交点与点 C 重合， 连接 AD，BE．

(1)求证：△ACD≌△BCE；
(2)当点 D 在△ABC 内部，且∠ADC=90°时，设 AC 与 DG 相交于点 M，求 AM 的长；
(3)将正方形DEFG绕点 C 旋转一周，当点A、D、E三点在同一直线上时，求AD的长．

【推荐3】如图，在中，，，，如果点由点出发沿方向向点A匀速运动，同时点由点A出发沿方向向点匀速运动，它们的速度均为连接，设运动时间为，解答下列问题：

(1)填空：用含的代数式表示______，______；
(2)如图，连接，将沿翻折，得到四边形，当四边形为菱形时，求的值；
(3)当为何值时，是等腰三角形？

【推荐1】【问题情境】在综合与实践课上，老师组织同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动．请你解决活动过程中产生的下列问题．如图1，现有正方形纸片，先对折得到对角线，接着折叠使点B落到上的点处，再展开，得到折痕，连接、．
   
【观察计算】
（1）在图1中，的值是_____．
【操作探究】
（2）如图2，在图1的基础上，折叠正方形纸片，使点C，D分别落到，边上的点E，处，再展开，折痕为，则点在折痕上吗?若在，请加以证明；若不在，请说明理由；
（3）如图3，在图2（隐去点和）的基础上，折叠正方形纸片，使点A，D分别落到点E，处，再展开，折痕为，折痕与交于点P，连接，，，猜想和的位置关系，并加以证明；
【操作拓展】
（4）如图4，该图中所有已知条件与图3完全相同，利用图4探索新的折叠方法（图3中产生折痕的方法除外），找出与图3中点P位置相同的点，该点命名为，要求只有一条折痕、请在图4中画出折痕和必要线段，标出点，并简要说明折叠方法．（不需要说明理由）

【推荐2】有公共顶点A的正方形与正方形按如图1所示放置，点E，F分别在边和上，连接，点M是的中点，连接交于点N．
   
(1)【观察猜想】线段与之间的数量关系是         ，位置关系是         ；
(2)【探究证明】将图1中的正方形绕点A顺时针旋转，线段与之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？并说明理由．
(3)若正方形的边长为m，将其沿翻折，点D的对应点G恰好落在边上，有最小值吗？有的话求出最小值，没有的话请说明理由．

【推荐1】如图，已知，线段，若点在上滑动，点随着线段在射线上滑动(，与不重合)，的内切圆分别与，，切于点，，．

(1)在上述变化过程中，的周长，的半径，外接圆半径，这几个量中不会发生变化的是什么?并简要说明理由．
(2)当时，求的半径．
(3)当的面积为，为，试求与之间的函数关系，并求出最大时直角边的长．

【推荐2】在△ABC中，∠A=120°，BC=6，，若△ABC的内切圆的半径为R，求R的最大值.

【推荐3】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：
莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数、公式和定理，下面是欧拉发现的一个定理：在△ABC 中，R 和 r 分别为外接圆和内切圆的半径，O 和 I 分别为其外心和内心，则OI  R2Rr .

下面是该定理的证明过程（借助了第(2)问的结论）：
延长AI 交⊙O 于点 D，过点 I 作⊙O 的直径 MN，连接 DM，AN.
∵∠D=∠N，∴∠DMI=∠NAI（同弧所对的圆周角相等），
∴△MDI∽△ANI.∴，∴ IA ID  IM  IN ①
如图②，在图 1（隐去 MD，AN）的基础上作⊙O 的直径DE，连接BE，BD，BI，IF
∵DE 是⊙O 的直径，∴∠DBE=90°.
∵⊙I 与 AB 相切于点 F，∴∠AFI=90°，
∴∠DBE=∠IFA.
∵∠BAD=∠E（同弧所对圆周角相等），
∴△AIF∽△EDB．
∴，∴②，
由（2）知：，
∴
又∵，
∴ 2Rr(R  d )(R  d ) ，
∴ R d 2Rr
∴ d  R 2Rr
任务：（1）观察发现： IM  R  d ， IN  （用含R，d 的代数式表示）；
（2）请判断 BD 和 ID 的数量关系，并说明理由.（请利用图 1 证明）
（3）应用：若△ABC 的外接圆的半径为 6cm，内切圆的半径为 2cm，则△ABC 的外心与内心之间的距离为 　　cm．