【推荐1】如图，为的直径，与相切，以、为边的平行四边形交于点D，连．

（1）求证：是的切线；
（2）连，若，，求的值．

【推荐2】据图回答下列各题．
【问题：】如图1，在中，，点是边上一点（不与，重合），将线段绕点逆时针旋转得到，连接，则线段，之间满足的数量关系式为 　　．
【探索：】如图2，在与中，，，将绕点旋转，使点落在边上，请探索线段，，之间满足的数量关系，并证明你的结论．
【应用：】如图3，在四边形中，，若，，求的长．

【推荐1】（问题发现）数学小组成员小明做作业时遇到以下问题：
（1）若四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，点P是射线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE，如图1，当点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE、CA，则BP与CE有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想；
（类比探究）数学小组对该问题进行进一步探究：
（2）若四边形ABCD是正方形，点P是射线BD上一动点，以AP为直角边在AP边的右侧作等腰，其中
①如图2，当点P在对角线BD上时，小组发现点E恰好在射线CD上，求BP与CE之间的数量关系（过程只用说明点E在线段CD上的情况即可）；
②如图3，当P是对角线BD的延长线上一动点时，小组发现点E恰好在射线CD上，连接BE，若BE＝6，AB＝2，求BPE的面积．

【推荐2】如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=4，点E为对角线AC上一动点，连接DE、过点E作EF⊥DE．交BC点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形（提示：可过E点向CD、BC作垂线）；
（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；
（3）若F点恰为BC中点，求CG的长度．

【推荐3】如图，在正方形中，点关于直线的对称点为，为边上一动点，交于点，交于点．
   
(1)当点为中点时，求证：；
(2)当时，求证：．

【推荐1】【探究发现】
（1）如图①，在等边三角形内部有一点P，若．求证：．
请将下列证明过程补充完整：
证明：将绕A点逆时针旋转，得到，连接，
∴__________，
∴，_______，
又∵，∴是等边三角形（_______）
∴，，
又∵，∴，
在中，
___________，即．
【类比延伸】
（2）如图②，在中，，，三角形内部有一点P，若．
求证：
（提示：将绕A点逆时针旋转90°，得到，连接）
【联想拓展】
（3）如图③，在中，，，点P在直线上方，且，满足（其中）．
将绕A点顺时针旋转__________°，得到，连接，过点A作，垂足为H，则_________．

【推荐2】在中，，．将绕点C顺时针旋转一个角度得到，点A、B的对应点分别为D、E．

   

(1)若点E恰好落在边上，如图（1），连接，求的大小；
(2)若，F为的中点，如图（2），连接，求证：四边形是平行四边形．
(3)若，如图（3）．连接，且与分别交于点G、H，求证：．

【推荐3】如图所示，将Rt△ABC绕点A顺时针旋转一定角度得到Rt△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上．若AC，∠B＝60°，求CD的长．

【推荐1】如图，在中，点D在边上，点F、E在边上，且，

(1)求证：；
(2)如图求的值．

【推荐2】如图，以的直角边为直径的半圆，与斜边交于点，是边的中点，连接．
（1）求证：是半圆的切线．
（2）若，，求直角边的长．

【推荐3】在如图所示的直角坐标系中，为原点，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线与线段相交于点，且，试求点的坐标．