【推荐3】在中，，点是直线上的一点（不与点、重合），以为腰右侧作等腰三角形，且，，连接．

(1)如图1，当点在线段上，
①求证：．
②设，，求关于的函数解析式，并写出它的定义域．
(2)当点在直线上（不与点重合），且，如图2，直线与射线相交于点，能否成为等腰三角形，如果能，请直接写出的大小；如果不能，请说明理由．

【推荐2】如图1，在中，，，点和点是边上两点，连接，得到是一个等边三角形．

(1)求证：；
(2)将等边绕点旋转至如图2所示的位置，点仍然在边上，点落在边外，连接，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长度．

【推荐3】阅读下面材料，并解决问题：

(1)如图（1），等边内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，则      ．由于不在同一个三角形中，我们可以将绕顶点A逆时针旋转，得到       ．这样就可以利用全等三角形知识，将三条线段长度转化到一个三角形中，从而求出的度数．请给出计算证明过程．
(2)请你利用（1）题的解答思想和方法，解答下面的问题：
已知：如图（2），，D、E为上的点且，请你探索线段，三条线段之间的数量关系，并证明你的结论．
(3)请你利用第（2）题的结论，解答下面的问题
已知：如图（3），中，，D，E为边上的点，，，求的长．

【推荐1】阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，，点A，B，E在同一条直线上，P是线段的中点，连接，，探究与的位置关系．
(1)请你写出上面问题中线段与的位置关系，并说明理由；
(2)将图1中的菱形绕点B顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明，
(3)将菱形和菱形均改成正方形，如图3，P为的中点，此时与的位置关系和数量关系分别是什么？直接写出答案．
   

【推荐2】已知为等边三角形，是边上一点，连接，点为上一点，连接．

(1)如图1，延长交于点，若，，求的长；
(2)如图2，将绕点顺时针旋转到，延长至点，使得，连接交于点，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3，，点是上一点，且，连接，点是上一点，，连接，，将沿翻折到，连接，当的周长最小时，直接写出的面积．

【推荐3】如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线经过点和点．
   
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，线段绕原点O逆时针旋转得到线段．过点B作射线，点M是射线上一点（不与点B重合），点M关于x轴的对称点为点N，连接，NB．
   
①直接写出的形状为       ；
②设的面积为，的面积为是，当时，求点M的坐标；
(3)如图，在（2）的结论下，过点B作，交NM的延长线于点E，线段BE绕点B逆时针旋转，旋转角为得到线段BF，过点F作轴，交射线于点K，的角平分线和的角平分线相交于点G，当时，请直接写出点G的坐标为      ．
   

【推荐2】【温故知新】黄金分割是一种最能引起美感的分割比例，具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．我们知道：如图1，如果，那么称点C为线段AB的黄金分割点．

(1)【问题发现】如图1，请直接写出AC与AB的比值是　 　．
(2)【问题探究】如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝1，，在BA上截取BD＝BC，在上截取，则的值为　 　．
(3)【问题解决】如图3，用边长为6的正方形纸片进行如下操作：对折正方形ABDE得折痕MN，连接EN，点A对应点H，得折痕CE，试说明：C是AB的黄金分割点；
(4)【拓展延伸】如图4，正方形ABCD中，M为对角线BD上一点，点N在边CD上，且CN＜DN，当N为CD的黄金分割点时，∠AMB=∠ANB，连NM，延长NM交AD于E，请用相似的知识求出的值为 　 　．

【推荐3】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，四边形PDEF是矩形，PD=2，PF=4，DE与AB边交于点G，点P从点B出发沿BC以每秒1个单位长的速度向点C匀速运动，伴随点P的运动，矩形PDEF在射线BC上滑动；点Q从点P出发沿折线PD﹣DE以每秒1个单位长的速度匀速运动．点P，Q同时出发，当点Q到达点E时停止运动，点P也随之停止．设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）
（1）当t=1时，QD=　　，DG=　　；
（2）当点Q到达点G时，求出t的值；
（3）t为何值时，△PQC是直角三角形？