【推荐1】如图，在等腰中，，点D，E，F在的边上，满足，．

(1)求证：；
(2)已知，求的度数．

【推荐2】如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点．

(1)求证：；
(2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形．

【推荐3】已知：在矩形中，，点P是上一动点（不与端点B，C重合），连接，于点P，交于点Q，连接．
   
(1)如图1，当点P运动到的中点时．
①求证：；
②若，求k的值；
(2)如图2，当时，点P在运动的过程中，是否存在点Q和点D重合的情况？若存在，试确定此时P点的位置；若不存在，请说明理由．
(3)如图3，当时，的延长线交正方形外角的平分线于点G，连接交边于点H，连接，当最小时，求的值．

【推荐1】如图，由小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，是与网格线的交点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图．
   
(1)在的下方画出格点，使；在上画点，使．
(2)在上画点，使平分；设，将点绕点顺时针旋转，画出对应点．

【推荐3】如图，在四边形中，，平分．求证：是等腰三角形．

【推荐1】如图，⊙O是△ABC的外接圆，的平分线交⊙O于点D，交BC于点E，过点D作直线．

（1）判断直线DF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若，求BD的长．

【推荐2】是的直径，是上一点，，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点．

(1)如图1，求证；
(2)如图2，连接，若，求的长．

【推荐3】【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第 77 页的部分内容．

猜想：如图，在中，点、分别是与的中点．根据画出的图形，可以猜想：，且 对此，我们可以用演绎推理给出证明．

(1)【定理证明】请根据教材内容，结合图①，写出证明过程．

(2)【定理应用】如图②，已知矩形中，，，点在上从向移动，、、分别是、、的中点，则______．

(3)【拓展提升】如图③，中，，，点，分别是，的中点，点在上，且，则______．