【推荐1】已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，．
   
(1)当绕点旋转到时（如图），证明．
(2)当绕点旋转到时（如图），线段，和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．
(3)当绕点旋转到如图的位置时，线段，和之间又有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明．

【推荐2】已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在AC、BC上，且CD=BE．
   
（1）求证：△ABE≌△BCD；
（2）求出∠AFB的度数．

【推荐3】通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．

原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．
(1)思路梳理
把绕点A逆时针旋转90°至，可使与重合，由，得，即点F、D、G共线，易证______，故、、之间的数量关系为______．（要求写出必要的推理过程）
(2)类比引申
如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，，连接，试猜想、、之间的数量关系为______，并给出证明．
(3)联想拓展
如图3，在中，，，点D、E均在边上，且，若，，求的长．

【推荐1】如图，是半圆的直径，点为半圆外一点，且交半圆于点，，过点作半圆的切线，交于点．
（1）求证：
（2）填空：
①连接并延长，交的延长线于点，当        时，四边形是菱形；
②若，则            

【推荐3】定义：只有一组对角是直角的四边形叫做损矩形．
如图1，，四边形是损矩形．我们发现损矩形的一边与另外两个顶点所构成的两个三角形中，公共边所对的两个角是相等的，比如图1中：和有公共边，所对的和相等；再比如和有公共边，此时．
概念理解

(1)请在图1中再找出一对相等的角：_________＝_________；（不另添字母且除外）
(2)如图2，中，，以为一边向外作菱形，D为菱形对角线的交点．四边形_______损矩形（填“是”或“不是”）；
问题探究
(3)在（2）的条件下，连接，当平分时，
①判断四边形为何种特殊的四边形？请利用图3画图并说明理由；
②若，求四边形的面积．

【推荐1】如图，是的外接圆，，过点A作，交的延长线于点P．
       
(1)求证：是的切线；
(2)若的半径，求线段的长．

【推荐2】如图，四边形为的内接四边形，为的直径，延长相交于点．

求证：；
若，求的长．

【推荐3】如图，//，于点O，，，，求的长．

【推荐2】某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥的长度．

【推荐3】如图，由游客中心处修建通往百米观景长廊的两条栈道，若，则游客中心到观景长廊的距离的长约为多少米？（结果精确到，）．