【推荐1】如图，在中，，于点D，求证：．
   

【推荐2】已知一个角的两边与另一个角的两边分别垂直，结合图形，试探索这两个角之间的数量关系．

(1)如图1，，，与的数量关系是：________．
(2)如图2，，，与的数量关系是：________．
(3)由（1）（2）你得出的结论是：如果________，那么________________．
(4)若两个角的两边互相垂直，且一个角比另一个角的3倍少，求这两个角度数．

【推荐3】如图，直线，相交于点O，，．

(1)试说明：．
(2)若平分，求的度数．

【推荐2】如图1，在四边形中，，，，过点A作于点H，过点C作于点E．
   
(1)若，，求的长；
(2)如图2，连接，F为上一点，连接并延长，交于点G，若，求证：F是的中点．

【推荐3】在△ABC中，∠B=60°，D是BC上的一点，且AD=AC．

(1)如图①，延长BC到E，使CE=BD，连接AE．求证：AB=AE；
(2)如图②，在AB上取一点F，使DF=DB，P为BC延长线上的一点，连接PA，PF，若PA=PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．

【推荐1】在的网格中建立如图的平面直角坐标系，平行四边形的顶点坐标分别为，，．解答下列问题：

(1)点B坐标为　　；
(2)仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，
①将线段绕点C逆时针旋转90°，画出对应线段；
②在线段上画点E，使．（保留画图过程的痕迹）

【推荐2】如图，已知△ABC

(1)用直尺和圆规按下列要求作图：（保留作图痕迹）作的角平分线AD；作∠EBC＝∠ADC，BE交CA的延长线于E；
(2)若AF⊥BE，垂足为F，证明BF＝EF．

【推荐3】已知等腰△ABC中，∠BAC=90°，BC=4，P为BC上一动点，∠MPN=45°，PM、PN分别与AB、AC交于点E、F，且PM⊥AB，BE=x.

(1)若P点在BC上运动，求四边形AEPF的面积（用x的代数式表示）并写出x的取值范围
(2)当点P在BC上运动时，△EPF能否为直角三角形，若能，请写出此时x的值；若不能，请说明理由.

【推荐1】如图，某校教学楼后面紧邻着一个山坡，坡上面是一块平地，，，斜坡长，斜坡的坡比为，为了减缓坡面，防止山体滑坡，学校决定对该斜坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过时，可确保山体不滑坡．

(1)求的高度．
(2)如果改造时保持坡脚不动，则坡顶沿至少向右移多少时，才能确保山体不滑坡．（取）

【推荐2】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，C

(1)若经过平移后得到，已知．
①作出平移后的；
②平移的距离为      个单位长度；
(2)将绕点逆时针旋转，得到．
①作出旋转后的；
②直接写出、的坐标．

【推荐3】如图，在平行四边形中，，垂足分别为、．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的面积．