【推荐1】如图，已知在矩形ABCD中，BC=2CD=2a，点E在边CD上，在矩形ABCD的左侧作矩形ECGF，使CG=2GF=2b，连接BD，CF，连结AF交BD于点H．

（1）求证：BD∥CF；
（2）求证：H是AF的中点；
（3）连结CH，若HC⊥BD，求a：b的值．

【推荐2】【概念学习】
如果四边形的一条对角线是其中两边的比例中项，则称这个四边形为“闪亮四边形”，这条对角线称为“亮线”，如图1，四边形中，满足 ，四边形是闪亮四边形，是亮线．
【概念理解】
(1)菱形是闪亮四边形，则它的较小的一个内角是         °.
【概念应用】
(2)如图2，四边形中，， ， 判断哪一条线段是四边形的亮线?请你作出判断并说明理由．
(3)如图3，是闪亮四边形的唯一亮线，请求线段的长．

【推荐3】如图，在□ABCD中，∠ABD＝90°，，BD＝8cm．点P从点A出发，沿折线AB—BC向终点C运动，点P在AB边、BC边上的运动速度分别为1cm/s、cm/s．在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM=2PQ，MN与BD在PQ的同侧．设点P的运动时间为t（秒），矩形PQMN与□ABCD重叠部分的面积为S（cm²）．

(1)求边AB的长；
(2)当0＜t＜4时，PQ＝　 　，当4＜t＜8时，PQ＝　 　（用含t的代数式表示）；
(3)当点M落在BD上时，求t的值；
(4)当矩形PQMN与□ABCD重叠部分图形为四边形时，求S与t的函数关系式．

【推荐1】折纸是富有趣味和有意义的一项活动，折纸中隐含着数学知识与思想方法．深入探究折纸，可以用数学的眼光发现，用数学的思维思考、用数学的语言描述，提升同学们的综合素养．
【操作发现】
（1）如图（1），在矩形中，把矩形折叠，使与重合，与重合，展平纸片得到折痕，再第二次折叠，点落在上点，展平纸片得到折痕，连接，，则等于　　
A．       B．     C．     D．
【深入探究】
（2）如图（2），是矩形边上一点，把矩形折叠，使与重合，展平纸片得到折痕；第二次折叠，点落在上的点 ，落在点 ，展平纸片得到折痕，连接，，，写出与的数量关系，并给出证明；
【拓展应用】
（3）如图（3），正方形中，是射线上一点，点与点是对称点，是对称轴．点与点 是对称点，是对称轴，点关于的对称点为点 ，连接 ，，，，当时，直接写出的长．

【推荐2】如图，平面直角坐标系中，矩形的对角线，


(1)求B、C两点的坐标；
(2)把矩形沿直线DE对折使点C落在点A处，与相交于点F，求四边形的面积；
(3)若点M在直线上，平面内是否存在点N，使以O、F、M、N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐3】如图，矩形的对角线所在的直线是，函数在第一象限内的图象与对角线交于点，与边交于点，的面积为2．

(1)求D的坐标；
(2)设P是线段上的点，且满足以C、D、P为顶点的三角形与相似，求点P的坐标；
(3)若M是边上的一个动点，将沿对折成，求线段长的最小值．