【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴的负半轴交于点C，且，G是抛物线的顶点．

(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若M为第四象限内抛物线上的一个动点，连接、，设点M的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)若P是抛物线上的一个动点，Q是x轴上的一个动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、A，G为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐2】已知二次函数（b为常数）．
(1)若图象过，求函数的表达式．
(2)在（1）的条件下，当时，求函数的最大值和最小值．
(3)若函数图象不经过第三象限，求b的取值范围

【推荐3】第二十四届冬奥会在北京成功举办，在跳台滑雪项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．某数学小组对该项目中的数学问题进行了深入研究，下图是该小组绘制的赛道截面图，以停止区所在水平线为轴，过起跳点与轴垂直的直线为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，为着陆坡，，某运动员在处起跳腾空后，飞行至着陆坡的处着陆，过点作轴于点，且，在空中飞行过程中，运动员到轴的距离与水平方向移动的距离具备二次函数关系，其解析式为．

(1)_________，点的坐标为_________；
(2)进一步研究发现，该运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离与飞行时间具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，，；空中飞行后着陆．
①求关于的函数解析式；
②当为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离最大，最大值是多少？

【推荐1】已知二次函数（m是常数）．
(1)求证：无论m取何值，该函数的图象与x轴一定有两个交点；
(2)取一个你喜欢的m的值，并求出此时函数图象与x轴的交点坐标．

【推荐2】已知二次函数的图象开口向上，且为整数，且该抛物线与轴有两个交点和．一次函数与反比例函数的图象都经过．
(1)求的值；
(2)求一次函数和反比例函数的解析式，并直接写出时，的取值范围．

【推荐3】如图，抛物线的图象与轴交于点和点,与轴交于点，直线交抛物线于点和点，连接．
求点坐标．
求的面积．
直接写出当时，自变量的取值范围．