【推荐3】【问题呈现】在学习《圆》这一章时，小明遇到了这样一个问题：如图，已知 半径是，点 是上的一个动点，点 是平面内一点，，求证：线段 的最大值为．
【问题解决】经过分析，如图，小明将延长交 于点，并猜想此时 最大，为了验证这个猜想，小明想利用如下方法来解决，下面是部分证明过程，请补全缺失的部分．
证明 如图， 在上任意取一点点 不与点 重合， 连结 、，
证明过程缺失
则 ，
则此时， 最大， 最大值为．
【问题延申】如图， 在中，， ， ， 点 是边 上的一个动点， 连结， 过点 作 于点， 连结， 则线段 的最小值是          ．
【拓展提升】如图，某景区有一片油菜花地，形状由 和以 为直径的半圆两部分构成， 已知米，， ， 为了方便游客游览， 该景区计划对油菜花地进行改造，根据设计要求，在半圆上确定一点 ，沿 修建小路，并在 中点 处修建一个凉亭，沿 修建仿古长廊，由于仿古长廊造价很高、为了控制成本，景区要求仿古长廊 的长度尽可能短，若不考虑其他因素，则仿古长廊 最短为         米．(结果保留根号)

【推荐1】直角三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，AC≤BC，如图，将纸片沿某条直线折叠，使点A落在直角边BC上，记落点为D，设折痕与AB、AC边分别交于点E、F．
（1）如果∠AFE＝65°，求∠CDF的度数；
（2）若折叠后的△CDF与△BDE均为等腰三角形，那么纸片中∠B的度数是多少？写出你的计算过程．

【推荐2】如图，将一张长方形纸片分别沿着EP，FP对折，使点B落在点B′，点C落在点C′.
(1)若点P，B′，C′在同一直线上(如图1)，求两条折痕的夹角∠EPF的度数；
(2)若点P，B′，C′不在同一直线上(如图2)，且∠B′PC′＝10°，求∠EPF的度数．

【推荐3】在中，，点D是上一点，将沿翻折后得到，边交射线于点F．

（1）如图1，当时，求证：；
（2）若，
①如图2，当时，求x的值；
②若，求x的值．

【推荐1】已知：如图，M是的中点，过点M的弦交弦于点C，设的半径为，．

(1)求圆心O到弦的距离；
(2)求的度数．

【推荐2】如图，是的直径，、分别与相切于点、，交的延长线于点，⊥交的延长线于点，交于点，连结．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径和线段的长．

【推荐3】如图1，在△ABC中，ACB=90°，BAC=60°，点E是∠BAC角平分线上一点，过点E作AE的垂线，过点A作AB的线段，两垂线交于点D，连接DB，点F是BD的中点．DH⊥AC，垂足为H，连接EF，HF．

(1)如图1，若点H是AC的中点，AC=，求AB，BD的长．
(2)如图1，求证：HF=EF．
(3)如图2，连接CF，CE，猜想：△CEF是否是等边三角形？若是，请证明；若不是，请说明理由．