【推荐1】如图，已知∠1=∠2，P为BN上的一点，PF⊥BC于F，PA=PC.

（1）求证：∠PCB+∠BAP=180º.（温馨提示过P作PD⊥BA交于D点）
（2）若BC=12cm，AB=6cm，PA=5cm，求BP的长.

【推荐2】由无理数的定义可知无理数与有理数不可能相等，若m，n为有理数，为无理数，且，则，．
(1)如果，其中a，b为有理数，求的平方根；
(2)如果，其中a，b为有理数且是p的平方根，求p的值．

【推荐1】如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点P从点A出发，沿AB以2cm/s的速度向终点B匀速运动，同时点Q从点C出发，沿以4cm/s的速度向点D匀速运动，到达点D后，继续沿以3cm/s的速度向终点A匀速运动．连接PQ，以PQ、BP为边作平行四边形BPQE，连接AC交PQ于点F，设点P的运动时间为x（s），平行四边形BPQE与矩形ABCD重叠部分图形的面积为y．

(1)当点Q在AD上，△APQ是等腰三角形时，求x的值．
(2)当点Q在CD上，△CFQ与△ADC相似时，求x的值．
(3)求y与x之间的函数关系式．

【推荐2】在等边三角形外侧作直线，点关于直线的对称点为，连接，交于点，连接．

(1)依题意补全如图．
(2)若，求．
(3)若，用等式表示线段之间的数量关系并证明．

【推荐3】如图，在中，，点D、E分别是边、边上的点，连接，，F是延长线上一点，连接，．

(1)判断的形状，并说明理由；
(2)若，求的值；
(3)若，．
①求的值；
②求的长．

【推荐1】问题探究：
如图1，小明遇到这样一个问题：如图，在中，是中线，求的取值范围．他的做法是：延长到，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：
   
（1）小明证明的判定理由是______；（填写“”或“”）
（2）的取值范围是______；
方法运用：
（3）如图2，是的中线，在上取一点，连接，使得，延长交于点．求证：；
（4）如图3，在中，为的中点，．求证：．

【推荐3】如图，在中，，D为线段的延长线上一点，且，于点E，取的中点F，连接．
   
(1)若，，求的长；
(2)若，求证：；
(3)请直接写出线段的数量关系．

【推荐1】已知：在中，，点为直线上一动点(点不与重合).以为边作正方形，连接.
   
(1)如图1，当点在线段上时，求证：.
(2)如图2，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，请直接写出三条线段之间的关系；
(3)如图3，当点在线段的反向延长线上时，且点分别在直线的两侧.其他条件不变，若连接正方形对角线，交点为，连接，探究的形状，并说明理由.

【推荐2】如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90∘，F是AC边上的一个动点(点F与A、C不重合)，以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．
(1)猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
(2)将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针方向旋转任意角度α，得到如图2的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断（1）中得到的结论是否仍然成立，并证明你的判断．
(3)将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90∘，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图3，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD²+AF²的值．