【推荐1】综合与实践
旋转是图形变化的方法之一，借助旋转知识可以解决线段长、角的大小、取值范围、判断三角形形状等问题，在实际生活中也有着十分重要的地位和作用.
问题背景
一块等边三角形建筑材料内一点到三角形三个顶点的距离满足一定条件时，我们可以用所学的知识帮助工人师傅在没有刻度尺的情况下求出等边三角形的边长.
数学建模
如图，等边三角形内有一点，已知，，.

问题解决
（1）如图，将△ABP绕点顺时针旋转60°得到△CBP′，连接，易证∠BP′P=__°，△____为等边三角形，____，___°.
（2）点H为直线BP′上的一个动点，则的最小值为______；
（3）求长；

拓展延伸
已知：点在正方形内，点在平面内，，.
（4）在图中，连接PA、PC、PQ、QC，，若点、、在一条直线上，则____.

（5）若，连接，则____________；连接，当、、三点在同一条直线上时，△BDQ的面积为______.

【推荐2】面直角坐标系中，O为原点，点，点，线段的中点为点C．将绕着点B逆时针旋转，点O对应点为，点A的对应点为．

(1)如图①，当点恰好落在上时，
①此时的长为_________；
②点P是线段上的动点，旋转后的对应点为，连接，试求最小时点P的坐标；
(2)如图②，连接，则在旋转过程中，的面积是否存在最大值？若存在，直接写出最大值，若不存在，说明理由．

【推荐3】如图，抛物线C₁的图象与x轴交A（−3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点D为抛物线的顶点．
（1）求抛物线C₁的解析式和D点坐标；
（2）将抛物线C₁关于点B对称后的抛物线记为C₂，点E为抛物线C₂的顶点，求抛物线C₂的解析式和E点坐标；
（3）是否在抛物线C₂上存在一点P，在x轴上存在一点Q，使得以D，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在求出P点坐标，若不存在请说明理由．
   

【推荐1】如图1，将直角三角板放在正方形上，使三角板的直角顶点与正方形的顶点重合，三角板的一边交边于点，另一边交的延长线于点．

（1）求证：；
（2）如图2，移动三角板，使顶点始终在正方形的对角线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明：若不成立．请说明理由；
（3）如图3，将（2）中的“正方形”改为“矩形”，且使三角板的一边经过点，其他条件不变，若，，则______．

【推荐2】在中，于点，为边上一动点，于点，交于点．

（1）如图1，求证：；
（2）如图2，若为的中点，．
①求的值；
②若，的延长线与的延长线相交于点，，则的长为______．

【推荐3】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸不仅可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．

(1)操作判断：

在上选一点，沿折叠，使点落在正方形内部的点处，把纸片展平，过作交、、于点、、，连接并延长交于点，连接，如图，当为中点时，是______三角形．

(2)迁移探究：

如图，若，且，求正方形的边长．

(3)拓展应用：

如图，若，直接写出的值为______．

【推荐2】如图1，中，，，为上一动点，且，与的延长线交于点，连接．
（1）①求证：；
②若，当时，求的长；
（2）如图2，当时，求证：平分．

【推荐3】如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG．若正方形ABCD的边长为2，∠AGF＝105°．
（1）求∠BAG的度数；
（2）线段EF的长．