【推荐1】【问题呈现】某学校的数学社团成员在学习时遇到这样一个题目：
如图1，在中，，AD平分交BC于点D，点E在DC的延长线上，过E作交AC的延长线于点F，当时，试说明：；
【方法探究】
社团成员在研究探讨后，提出了下面的思路：
在图1中，延长线段AD，交线段EF的延长线于点M，可以用AAS证明，从而得到…，
（1）请接着完成剩下的说理过程：
【方法运用】
（2）在图1中，若，则线段AF、EF、AB之间的数量关系为______（用含k的式子表示，不需要证明）；
（3）如图2，若，，，，求出BD的长；
【拓展提升】
（4）如图3，若，连接AE，已知，，，且，则边EF的长＝______．

【推荐2】如图，在中，，，P，D为射线AB上两点（点D在点P的左侧），且，连接CP．以P为中心，将线段PD逆时针旋转得线段PE．

(1)如图1，当四边形ACPE是平行四边形时，画出图形，并直接写出n的值；
(2)当时，M为线段AE的中点，连接PM．
①在图2中依题意补全图形；
②用等式表示线段CP与PM之间的数量关系，并证明．

【推荐1】已知正方形，，为平面内两点．

【探究建模】
（1）如图1，当点在边上时，，且，，三点共线．求证：；
【类比应用】
（2）如图2，当点在正方形外部时，，，且，，三点共线．猜想并证明线段，，之间的数量关系；
【拓展迁移】
（3）如图3，当点在正方形外部时，，，，且，，三点共线，与交于点．若，，求的长．