【推荐2】在平面直角坐标系中，对于任意两点与，我们重新定义这两点的“距离”：
①当时，为点与点的“远距离”，即；
当时，为点与点的“远距离”，即．
②点与点的“总距离”为与的和，即．

根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知点，则______．
(2)若点在第一象限，且．求点B的坐标．
(3)①若点，且，所有满足条件的点C组成了图形G，请在图1中画出图形G；
②已知点，，若在线段上存在点E，使得点E满足且，请直接写出m的取值范围．

【推荐1】小亮同学喜欢研究数学问题．他在一本资料中看到一个新的数学概念“对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形”，并对垂等四边形进行了研究．具体内容如下：

【理解应用】
（1）如图1，在平面直角坐标系中，已知四边形是垂等四边形，点的坐标为，点的坐标为，求点的坐标；
【规律初探】
（2）如图2，正方形的边长为，点在边上，点在边上，点在边上，点在边上，若四边形满足，请直接写出四边形面积S的取值范围；
【综合探究】
（3）如图3，已知抛物线与轴交于、两点，点在点的左侧，、两点在该抛物线上．若以、、、为顶点的四边形是垂等四边形且．设点的横坐标为，点的横坐标为，且，求m的值．

【推荐2】已知，在正方形ABCD中，点M、N为对角线AC上的两个动点，且∠MBN＝45°，过点M、N分别作AB、BC的垂线相交于点E，垂足分别为F、G，设△AFM的面积为S₁，△NGC的面积为S₂，△MEN的面积为S₃．

(1)如图（1），当四边形EFBG为正方形时，
①求证：△AFM≌△CGN；
②求证：S₃＝S₁+S₂．
(2)如图（2），当四边形EFBG为矩形时，写出S₁，S₂，S₃三者之间的数量关系，并说明理由；
(3)在（2）的条件下，若BG：GC＝m：n（m＞n），请直接写出AF：FB的值．

【推荐1】如图，等腰中，∠BAC=45度，AB=AC，CD⊥AB．点P为线段BC上的动点，过点P作PH⊥BC，PH交线段AC于点E，交线段CD于点F．

（1）请在图1中将图形补充完整，并探究CP于EF的数量关系．
（2）若将上述条件中“PH交线段AC于点E”，改为 “PH交线段CA延长线于点E”，你在（1）中得到的结论是否成立，若成立，请在图2中画图并证明；若不成立，请说明理由．

【推荐3】已知：中，E在上，以为直径的与相切于D，与相交于F，连接．
求证：平分；
连接，如果，，求的长．

【推荐1】如图1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF．
(1)若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点O，连接AD、BO，则AF与CD的数量关系为　 　，BO与AD的位置关系为　 　；
(2)若两个三角形按图3方式放置，其中C、B(D)、F在一条直线上，连接AE，M为AE中点，连接FM、CM．探究线段FM与CM之间的关系，并证明；
(3)若两个三角形按图4方式放置，其中B、C(D)、F在一条直线上，点G、H分别为FC、AC的中点，连接GH、BE交于点K，求证：BK＝EK．

【推荐3】已知：在中，．点D在上且，连接．
   
(1)如图1，求证：；
(2)过点D作，使．连接并延长至点G，使，连接．
①如图2，当点F在的延长线上时，求证：是等边三角形；
②如图3，，求的面积．