【推荐1】如图，在和中，．

求的面积；
试判断的形状，并证明你结论．

【推荐2】如图，在中，，，是边上一动点，于．
   
（1）如图（1），若平分时，
①求的度数；
②延长交的延长线于点，补全图形，探究与的数量关系，并证明你的结论；
（2）如图（2），过点作于点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想．

【推荐1】如图，在中，以为直径的经过点过点作的切线点是上不与点重合的一个动点，连接．

求证:；
填空:
当_           时，为等腰直角三角形:
当           时，四边形为菱形．

【推荐2】（1）发现：如图①，点A为一动点，点B和点C为两个定点，且，（）．
   　　   　　   
填空：当点位于_______时，线段的长取得最小值，且最小值为_______（用含的式子表示）；
（2）如图②应用：点为线段外一动点，且，，如图2分别以、为边作等边三角形和等边三角形，连接、．
①请找出图中与相等的线段，并说明理由；
②直接写出线段长的最小值．
（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点为线段OB外一动点，且，，，请求出的最小值并直接写出点的坐标．

【推荐3】在四边形中，，，，．

(1)求的度数；
(2)求四边形的面积．

【推荐1】我们定义：如图1，在中，把绕点顺时针旋转得到，把绕点逆时针旋转得到，连接．当时，我们称是的“旋补三角形”，边上的中线叫做的“旋补中线”．

【特例感知】
（1）在图2，图3中，是的“旋补三角形”，是的“旋补中线”．
①如图2，当为等边三角形，且时，则长为          ．
②如图3，当，且时，则长为          ．
【猜想论证】
（2）在图1中，当为任意三角形时，猜想与的数量关系，并给予证明．（如果你没有找到证明思路，可以考虑延长或延长，……）
【拓展应用】
（3）如图4，在四边形中，，，，以为边在四边形内部作等边，连接，．若是的“旋补三角形”，请直接写出的“旋补中线”长及四边形的边长．

【推荐2】在中，，a，b，c分别为，，的对边，由下列条件解直角三角形：
（1）已知，，则________；
（2）已知，，则________；
（3）已知，，则________；
（4）已知，，则________.

【推荐3】在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”．如图，已知四边形ABCD，AD=4，CD=3，AC=5，cos∠BCA=sin∠BAC=，求∠BDC的大小．