【推荐1】如图12，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB
上，点G在BA的延长线上，且CE=BK=AG.
⑴求证：①DE=DG；②DE⊥DG；
⑵尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；
⑶连接⑵中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想；
⑷当时，请直接写出的值.

【推荐2】我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A按逆时针方向旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β=180°时，我们称△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B′C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．

（1）特例感知：在图2、图3中，△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”．
①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=______BC；
②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为______．
（2）精确作图：如图4，已知在四边形ABCD内部存在点P，使得△PDC是△PAB的“旋补三角形”（点D的对应点为点A，点C的对应点为点B），请用直尺和圆规作出点P（要求：保留作图痕迹，不写作法和证明）
（3）猜想论证：在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．

【推荐3】如图，AB是⊙O的直径，BM切⊙O于点B，点P是⊙O上的一个动点(点P不与A，B两点重合)，连接AP，过点O作OQ∥AP交BM于点Q，过点P作PE⊥AB于点C，交QO的延长线于点E，连接PQ，OP．
(1)求证：△BOQ≌△POQ；
(2)若直径AB的长为12．
①当PE＝　 　时，四边形BOPQ为正方形；
②当PE＝　 　时，四边形AEOP为菱形．

【推荐1】（1）问题发现如图1，把一块三角板放入一个“”形槽中，使三角形的三个顶点、、分别在槽的两壁及底边上滑动，已知，在滑动过程中，发现与始终相等的角是　　，与线段相等的线段是　　；
（2）拓展探究：如图2，在中，点在边上，并且，．求证：．
（3）能力提升：如图3，在等边中，，分别为、边上的点，，连接，以为边在内作等边，连接，当时，请直接写出的长度．

【推荐1】已知在△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．
（1）求证：ED＝DC；
（2）若CD＝6，EC＝4，求AB的长．

【推荐2】定义：如果将△ABC与△DEF各分割成两个三角形，且△ABC所分的两个三角形与△DEF所分的两个三角形分别对应相似，那么称△ABC与△DEF互为“近似三角形”，将每条分割线称为“近似分割线”．
（1）如图1，在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，∠A＝30°，∠D＝40°，请判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请直接在图1中画出一组分割线，并注明分割后所得两个小三角形锐角的度数；若不是，请说明理由．
（2）判断下列命题是真命题还是假命题，若是真命题，请在括号内打“√”；若是假命题，请在括号内打“×”．
①任意两个直角三角形都是互为“近似三角形”　 　；
②两个“近似三角形”只有唯一的“近似分割线”　 　；
③如果两个三角形中有一个角相等，那么这两个三角形一定是互为“近似三角形”　 　．
（3）如图2，已知△ABC与△DEF中，∠A＝∠D＝15°，∠B＝45°，∠E＝60°，且BC＝EF＝，判断这两个三角形是否互为“近似三角形”？如果是，请在图2中画出不同位置的“近似分割线”，并直接分别写出“近似分割线”的和；如果不是，请说明理由．

【推荐3】数学课上，老师出示了这样一道题：
如图1，在中，，，点F在AC上，点E在BF上，，点D在BC延长线上，连接、，，探究线段AD与AE的数量关系并证明．

同学们经过思考后，交流了自己的想法：
小明：“通过观察和度量，发现与相等”
小亮：“通过观察和度量，发现与也相等”
小伟：“通过边角关系构造辅助线，经过进一步推理，可以得到线段AD与AE的数量关系．”
(1)求证：；
(2)求的值（用含有的式子表示）；