【推荐1】已知，在ABC 中， BAC  90， AB  AC ，点 D 为直线 BC 上的一动点（点 D 不与点 B 、C 重合）.   以 AD 为边作正方形 ADEF ，连接CF .

（1）如图 1，当点 D 在线段 BC 上时，求证： BD  CF ；
（2）如图 2，当点 D 在线段 BC 的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF 、 BC 、CD 三条线段之间的数量关系；
（3）如图 3，当点 D 在线段 BC 的反向延长线上时，且点 A 、 F 分别在直线 BC 的两侧，其他条件不变， 若正方形 ADEF 的边长为 2 ，对角线 AE 、 DF 相交于点O ，连接OC ，求OC 的长度.

【推荐2】已知抛物线（a，b，c是常数，，）的顶点为D，与x轴相交于点和点B，与y轴交于点C．动点P和Q以相同的速度从坐标原点O同时出发，分别在线段上向点B，C方向运动．
(1)若；
①求点D的坐标；
②过点P作x轴的垂线与抛物线相交于点E，当四边形为矩形时，求点E的坐标：
(2)若点，过点C作直线l平行于x轴，直线l与抛物线交于点F（不与点C重合），连接，当的最小值为时，求点F，Q的坐标．

【推荐3】如图，在菱形中，是上一点，是上一点，连接、、，且.
      
(1)如图1，求证：平分；
(2)如图2，若，求证：；
(3)在（2）的条件下，若，，求的长．

【推荐1】在四边形中，，，，，，P，Q同时沿着四边形的边逆时针运动，点P从点D出发，以的速度运动，点Q从点B出发，以的速度运动，设运动时间为t秒．

(1)______；
(2)若点Q运动到点C时就停止，点P也随之停止运动，用含t的代数式表示四边形的面积；
(3)若其中一个动点回到其出发点时，另一个动点也随之停止运动，则当_____时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．

【推荐2】综合与探究
如图1，一次函数的图象与坐标轴交于，两点，点的坐标为，点是线段上一动点，点的横坐标为．
   
(1)直接写出点A，B的坐标及直线的解析式；
(2)如图1，连接，当的面积等于的面积时，求点的坐标；
(3)如图2，过点作直线的平行线，在直线上是否存在一点，使四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．

【推荐3】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，BD为对角线．点P为线段CD上一动点，点P从点D出发，向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q为BC上一动点，过点Q作BD的垂线，交BD于M，交AD于点N，点Q从点C向点B运动，速度为1cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动；设运动时间为t（s）（0＜t＜6）．

（1）当t为何值时，PQ∥BD？
（2）设四边形NQPD的面积为y（cm²），求y与t之间的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻t，使四边形NQPD的面积是矩形ABCD面积的？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

【推荐1】如图，在中，，，．点在边的延长线上，且．在上方作射线，使．点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，沿射线方向运动．过点作，垂足为，过点作，垂足为，交线段或线段于点，当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒．
（1）线段的长为______．（用含的代数式表示）
（2）当点与点重合时，求的值．
（3）设的面积为，求与之间的函数关系式．
（4）当点在的某一条边的中垂线上时，直接写出的值．

   

【推荐2】如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动．设BD=x，CE=y．

（l）如果∠BAC=30⁰，∠DAE=105⁰，试确定y与x之间的函数关系式；
（2）如果∠BAC=α，∠DAE=β，当α，β满足怎样的关系时，（l）中y与x之间的函数关系式还成立？试说明理由．

【推荐3】如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D. 点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)设△CPQ的面积为S.求S与t之间的函数关系式:
(2)如图2，在运动过程中是否存在某一时刻t,使得沿PC翻折△CPQ所得到的到的四边形CQPM是菱形?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由：
(3)是否存在某一时刻t，使得P、Q、B三点共线?若存在，求出t的值;若不存在，请说明理由.