【推荐1】如图，菱形中，为中点，与对角线交于点，．
求证：；
若，求菱形的面积．

【推荐2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P为△ABC内部一点，且∠APB=∠BPC=135°

（1）求证：∠CAP=∠BCP：
（2）判断PA和PC数量关系，并说明理由

【推荐3】如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG//BC，点E从点A出发沿射线AG以1cm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．
（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；
（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．

【推荐1】如图，在中，点P是边上一点且满足，是的外接圆，过点P作交于点D．
   
(1)求证：是的切线；
(2)若，，，求的半径；

【推荐2】如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．

（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．

【推荐3】如图，四边形中，，，，厘米，厘米，动点P从点B出发以1厘米/秒的速度沿方向运动，动点Q从点C出发以2厘米/秒的速度沿方向运动，P，Q两点同时出发，当点Q到达点D时停止运动，点P也随之停止，设运动时间为t秒（）．
   
(1)如图（1），求线段的长；
(2)伴随P，Q两点的运动，线段的垂直平分线为l．
①如图（2）t为何值时，l经过点C？
②如图（3）当时，直线l恰好经过点D且交于F点，求出此时刻线段的长．

【推荐1】已知：如图，在△ABC中，120°＜∠BAC＜180°，AD为边BC的垂直平分线，以AC为边作等边三角形ACE，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，直线BE交DA的延长线于点F，连接FC交AE于点M．

(1)求证：∠FEA＝∠FBA．
(2)求∠EFC的度数．
(3)猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论．

【推荐2】我们给出如下新定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边．
(1)如图①，请你在图中画出格点M，使得四边形OAMB是以OA、OB为勾股边且对角线相等的勾股四边形；
(2)如图②，将△ABC绕顶点B按顺时针方向旋转60°，得到△DBE，连接AD，DC，CE．若∠DCB＝30°，则四边形ABCD是勾股四边形，为什么？

【推荐3】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD＝60°，AC＝12，求菱形对角线BD的长．