【推荐1】如图，在△ABC中，AB＝AC，AF⊥BC，在△CDE中，DC＝DE，DG⊥CE，AF和DG的延长线交于点P，连接BP、EP．
（1）求证：BP＝EP；
（2）若∠BCE＝135°，试判断PBE的形状，并给出证明．

【推荐2】如图，在中，，的垂直平分线交于点E，D．
   
(1)若的周长为23，求的长；
(2)若，求的度数．

【推荐3】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第94页的部分内容．请根据教材中的分析．

（1）结合图①，写出“线段的垂直平分线质定理”完整的证明过程．
（2）定理应用：
如图②，在中，，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M．连接MB，若AB=8cm，的周长是14cm．
①求BC的长；
②点P是直线MN上一动点，在运动的过程中，由P，B，C构成的的周长是否存在最小值?若存在，标出点P的位置，并求的周长最小值；若不存在，说明理由．

【推荐1】阅读材料：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，那么这个三角形的面积．这个公式叫“海伦公式”，它是利用三角形三条边的边长直接求三角形面积的公式．中国的秦九韶也得出了类似的公式，称三斜求积术，故这个公式又被称为“海伦—秦九韶公式”．完成下列问题：

   

如图，在中，，，．

(1)求的面积；
(2)利用尺规作出的高，并求的长．

【推荐2】如图，且．
   
(1)只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点（要求保留作图痕迹，不必写出作法）：
点到，两点的距离相等；
点到的两边的距离相等；
(2)在（）作出点后，写出的长．

【推荐3】如图，已知点是上的点，连接，用尺规作劣弧的中点C．（保留作图痕迹，不写作法）

【推荐1】如图，在等边△ABC中， M为BC边上的中点， D是射线AM上的一个动点，以CD为一边且在CD的下方作等边△CDE，连接BE．

（1）填空：若D与M重合时（如图1）∠CBE=               度；
（2）如图2，当点D在线段AM上时（点D不与A、M重合），请判断（1）中结论是否成立？并说明理由；
（3）在（2）的条件下，如图3，若点P、Q在BE的延长线上，且CP=CQ=4，AB=6，试求PQ的长．

【推荐2】如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥AC交BC于点D，且∠CDA=60°，BD＝2，求BC的长．

【推荐3】郑州高铁站入口的双翼闸机如图1所示，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为．双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角．一名旅客携带如图2长方体行李箱进站（单位：）．当双翼收回进闸机箱内时：

(1)根据实际情况，推着______向前更容易通过闸机；
A．“”的面        B．“”的面
(2)通过计算说明该旅客的行李箱是否可以通过闸机．