【推荐1】如图，已知二次函数的图象经过点．

（1）求m的值和图象的顶点A的坐标；
（2）点在该二次函数图象上．
①将点Q向左平移6单位得点，若恰好也在抛物线上，求n，t的值；
②将横、纵坐标均为整数的点称为整点，在直线下方的抛物线上（包括边界）恰好存在7个整点，则t的取值范围是_______．

【推荐2】如图1，抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点为抛物线的顶点．

(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标；
(2)如图2，连接，为轴上一点，连接交于点，当时，求点的坐标；
(3)如图3，连接、，在（1）中的抛物线上是否存在点，使得？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】定义：二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与轴交点也相同的两个二次函数互为友好同轴二次函数．例如：的友好同轴二次函数为．
(1)函数的对称轴为___________，其友好同轴二次函数为___________，两个函数表达式的二次项系数的关系是___________．
(2)已知二次函数(其中且且)，其友好同轴二次函数记为．
①若函数的图象与函数的图象交于两点(点的横坐标小于点的横坐标)，求线段的长；
②当时，函数的最大值与最小值的差为8，求的值．

【推荐1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与抛物线均经过点，直线在这两条抛物线的对称轴之间(不与对称轴重合)，函数的图象记为函数的图象记为图象与合起来得到的图形为．

（1）求的值；
（2）当时，求图形上随的增大而减小时的取值范围；
（3）当时，图形上最高点的纵坐标为，求的值．

【推荐2】如图1，已知抛物线经过，，三点，其顶点为，对称轴与轴交于点．

（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是该抛物线对称轴上的一个动点，求周长的最小值；[结果保留根号]
（3）如图2，若是线段上的一个动点（与、不重合），过点作平行于轴的直线交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为，的面积为．
①求与的函数关系式；
②是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于和，与轴交于点，连接，．

   

(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图2，点为直线上方的抛物线上任意一点，过点作轴的平行线，交于点，过点作轴的平行线，交直线于点，求周长的最大值；
(3)点为抛物线上的一动点，是否存在点使？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

【推荐1】在平面直角坐标系中，若对于任意两点、，都有，则称A、B两点互为“友好点”．已知点．
(1)若、、，则点A的“友好点”是 　   　；
(2)若、都在双曲线上，且A、P两点互为“友好点”．请求出点P的坐标；
(3)已知抛物线（，a，b，c为常数）．顶点为D点，与x轴交于A、B两点，与直线交于P、Q两点．若满足：①抛物线过点；②为等边三角形；③P、Q两点互为“友好点”．求的值．

【推荐2】综合与探究
如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧，其对称轴交x轴于点F，点是抛物线上一动点．

(1)求点A，B和F的坐标．
(2)已知存在一平行于x轴的直线l，点P到点F的距离与点P到此直线的距离始终相等，设直线l上所有点的纵坐标均为k．
①请求出k的值．
②当时，作直线交抛物线于点Q，在直线l上是否存在一点M，使得是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．