【推荐1】探究问题：已知，画一个角，使，，且交于点．与有怎样的数量关系？

(1)我们发现与有两种位置关系：如图1与图2所示．
①图1中与数量关系为__________；
图2中与数量关系为__________；
因此得出一个真命题（用文字叙述）：__________．
②请选择其中一幅图证明结论．
(2)根据①所得的结论，解决以下问题：若两个角的两边互相平行，且一个角比另一个角的2倍少，请直接写出这两个角的度数．

【推荐2】如图，，的顶点F、G分别落在直线 AB、上，交于点H，平分．若，，求的度数．

【推荐3】完成下面推理过程.
在括号内、横线上填空或填上推理依据．
如图，已知：，，，求证：．

证明：∵（已知）
∴______（______）
∵（已知）
∴______（______）
即
∴
∵（已知）
∴______（______）
∴EF∥______（______）
∴（______）．

【推荐1】已知：，点，分别在，上，且．

(1)如图，求证：；
(2)如图，交于点，连接，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对全等的三角形．

【推荐2】如图，AB是的直径，AC是弦，于点D，过点A作的切线AP，与OD的延长线交于点P，连接CP，与AB的延长线交于点E．

(1)求证：PC是的切线；
(2)求证：．

【推荐3】在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D为AB的中点．
（1）如图1，E，F分别是AC，BC上的点，且AE＝CF，请判断△DEF的形状，请写出证明过程．
（2）如图2，若E，F分别分别在CA，BC的延长线上，AE＝CF，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，写出完整的证明过程；若不成立，请说出理由．

【推荐1】（1）如图1：已知中，以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，，则与的数量关系为：＿＿＿＿；（直接填写结果，不需要说明理由）
（2）如图2，已知，以，为边向外作等边三角形和等边三角形，连接，，试判断与有什么数量关系？并说明理由；
（3）如图3，要测量池塘两岸相对的两点，之间的距离，已经测得，，米，米，且，求的长．

【推荐2】如图，AB是⊙O的弦，OP⊥OA交AB于点P，过点B的直线交OP的延长线于点C，且CP=CB．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为3，OP=1，求BC的长．

【推荐3】如图所示，为的直径，为上一点，过点的直线于点，平分．求证：是的切线．
   

【推荐1】如图，梯形ABCD中，AB//CD，AD=BC，延长AB到E，使BE=DC，连结AC、CE.求证AC=CE.
   

【推荐2】如图，是的直径，和是它的两条切线，切于点，交于点，交于点，是的中点，连接．
   
（1）求证：；
（2）猜想：与有何数量关系？并说明理由．

【推荐3】如图，在等腰梯形ABCD中，∠C=60°，AD∥BC，且AD=DC，E、F分别在AD、DC的延长线上，且DE=CF，AF、BE交于点P．

（1）求证：AF=BE；
（2）请你猜测∠BPF的度数，并证明你的结论．