【推荐1】某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：

【问题发现】如图1，正方形ABCD的四个顶点都在⊙O上，若点E在弧AB上，F是DE上的一点，且DF＝BE．试说明：△ADF≌△ABE；
【变式探究】如图2，若点E在弧AD上，过点A作AM⊥BE，请说明线段BE、DE、AM之间满足等量关系：BE﹣DE＝2AM；
【解决问题】如图3，在正方形ABCD中，CD＝2，若点P满足PD＝2，且∠BPD＝90°，请直接写出点A到BP的距离．

【推荐2】小明对教材“课题学习”中的“用一张正方形折出一个正八边形”的问题进行了认真地探索．他先把正方形沿对角线对折，再把对折，使点落在上，记为点．然后沿的中垂线折叠，得到折痕，如图1，类似地，折出其余三条折痕，得到八边形，如图2．

（1）求证：是等腰直角三角形．
（2）若，求的长．（用含的代数式表示）
（3）我们把八条边长相等，八个内角都相等的八边形叫做正八边形，试说明八边形是正八边形，请把过程补充完整．
解：理由如下：
①

同理可得：
②

同理可得：
∴八边形是正八边形．

【推荐3】已知，于点，且，，求的长．

【推荐1】如图，在正方形和中，点，，在同一条直线上，是线段的中点，连接，连接并延长，交于点．请证明：

(1)四边形是矩形．
(2)当时，四边形是正方形．

【推荐2】如图，正方形中，，点E是对角线上的一点，连接．过点E作，交于点F，以、为邻边作矩形，连接，．

   

(1)求证：①；
②矩形是正方形；
(2)求的值．

【推荐3】如图，点E为正方形外一点，，将绕A点逆时针方向旋转得到的延长线交于H点．

（1）试判定四边形的形状，并说明理由；
（2）已知，求的长．