【推荐1】已知为的外接圆，．

(1)如图1，延长至点B，使，连接．
①求证：为直角三角形；
②若的半径为4，，求的值；
(2)如图2，若，E为上的一点，且点D，E位于两侧，作关于对称的图形，连接，试猜想，，三者之间的数量关系并给予证明．

【推荐2】如图，已知，为的直径，过点A作弦垂直于直径于F，点B恰好为 的中点，连接，．

(1)求证：；
(2)若，求的半径；
(3)在（2）的条件下，求阴影部分的面积．

【推荐3】如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．

(1)如图1，在中，，E为中点，连接．求证：四边形为理想四边形；
(2)如图2，是等边三角形，若为理想对角线，为使四边形为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角；请你解释他这样设计的合理性．
(3)在（2）的条件下，
①若为直角三角形，，求的长度；
②如图3，若，请直接写出x，y，z之间的数量关系．

【推荐1】如图，AB是⊙O的直径，点F在⊙O上，的平分线AE交⊙O于点E，过点E作，交AF的延长线于点D，延长DE，AB相交于点C．

(1)求证：CD是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为5，，求BC的长．

【推荐2】已知：如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）用尺规作⊙O，使⊙O过A、D两点，且圆心O在AC上．（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：BC与⊙O相切；
（3）设圆O交AB于点E，若AE＝2，CD＝2BD．求线段BE的长和弧DE的长．

【推荐3】已知：AB为⊙O的直径，C、D为心⊙O上的点，C是优弧AD的中点，CE⊥DB交DB的延长线于点E．
（1）如图1，判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由．
（2）如图2，若tan∠BCE＝，连BC、CD，求cos∠BCD的值．

【推荐1】（1）问题背景：如图1，∠ACB＝∠ADE＝90°，AC＝BC，AD＝DE，求证：△ABE∽△ACD；
（2）尝试应用：如图2，E为正方形ABCD外一点，∠BED＝45°，过点D作DF⊥BE，垂足为F，连接CF．求的值；
（3）拓展创新：如图3，四边形ABCD是正方形，点F是线段CD上一点，以AF为对角线作正方形AEFG，连接DE，BG．当DF＝1，S_{四边形AEDF}＝5时，则BG的长为　                　．

【推荐2】如图，在矩形中，，点E是边上一动点（点E不与A，D重合），连接，以为边在直线的右侧作矩形，使得矩形矩形，交直线于点H．

(1)在点E的运动过程中，求证：．
(2)若，随着E点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当H是线段中点时，求的值．
(3)连接，，当是以 为腰时等腰三角形时，求的值（用含n的代数式表示）．

【推荐3】已知在矩形ABCD中AB=4,AD=6,点E是边AD上的一个点(与点A,D不重合)．连接CE，作∠CEF=90°，交直线BC点F，点G为线段EF的中点．

(1)如图1，若点E是AD的中点，四边形FHAB是矩形，求证：△HEF∽ΔDCE；
(2)如图2，若将边AD向左平移1个单位得平行四边形A′BCD′，当点G落在边A′B上时，求A′E的长；
(3)如图3，连接DF，点H是DF的中点，连接GH，EH，是否存在点E，使△EGH为等腰三角形？若存在，直接写出DE^的值.

【推荐1】如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线CD交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．

（1）求证：DP∥AB；
（2）试猜想线段AE、EF、BF之间的数量关系，并加以证明；
（3）若AC＝6，BC＝8，求线段PD的长．

【推荐2】定义：有且仅有一组对角相等的凸四边形叫做“准平行四边形”，例如：凸四边形ABCD中，若∠A＝∠C，∠B≠∠D，则称四边形ABCD为准平行四边形．

(1)如图（1）A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°，延长BP到Q，使AQ＝AP．已知∠QAC≠∠QBC，求证：四边形AQBC是准平行四边形；
(2)如图（2），准平行四边形ABCD内接于⊙O，AB≠AD，BC＝DC，若⊙O的半径为5，AB＝6，求四边形ABCD的面积；
(3)如图（3），在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，若四边形ABCD是准平行四边形，且∠BCD≠∠BAD，求BD长的最大值．

【推荐3】如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2．
（1）作∠ABC的角平分线BM交⊙O于点M，连接MA，MC，并求⊙O半径的长；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：AB+BC＝BM．