在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1.直角尺的直角顶点放在点P处，直角尺的两边分别交AB、BC于点E、F，连接EF(如图1).
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长.
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.
② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.
(1)当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合(如图2).
①求证：△APB∽△DCP；
②求PC、BC的长.
(2)探究：将直角尺从图2中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E和点A重合时停止.在这个过程中(图1是该过程的某个时刻)，观察、猜想并解答：
① tan∠PEF的值是否发生变化？请说明理由.
② 设AE=x，当△PBF是等腰三角形时，请直接写出x的值.
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更新时间：2019-12-06 16:46:54
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解答题-作图题
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较难
(0.4)
名校
【推荐1】小宇遇到了这样一个问题：
已知：如图，
，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足
．
求作：线段OB上的一点C，使
的周长等于线段
的长．
以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即得周长等于OB的长，那么由
，可以得到
．
对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得
，那么就可以得到
．
若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
已知：如图，
，点A，B分别在射线OM，ON上，且满足．求作：线段OB上的一点C，使
的周长等于线段的长．以下是小宇分析和求解的过程，请补充完整：首先画草图进行分析，如图1所示，若符合题意得点C已经找到，即
得周长等于OB的长，那么由，可以得到 ．对于这个式子，可以考虑用截长得办法，在BC上取一点D，使得
，那么就可以得到 ．若连接AD，由 ．（填推理依据）．可知点C在线段AD得垂直平分线上，于是问题得解法就找到了．
请根据小宇得分析，在图2中完成作图（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）．
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】在等边三角形
中，点D、E分别在边
、
上，且
，连接
、
交于点F．
(1)如图1，求证：
；
(2)过点E作
于点G．
①如图2，若
，
，求的长度；
②如图3，连接
、
，若
，求证：
．
中，点D、E分别在边、上，且，连接、交于点F．(1)如图1，求证：
；(2)过点E作
于点G．①如图2，若
，，求的长度；②如图3，连接
、，若，求证：．
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，
，
，
为
分别在直线
上，
，连接
．
与点
重合时，求
不与点
重合时，求证：
；
，求线段
的长．
解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐1】问题情填，
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD、并且量得AB＝2cm，AC＝4cm.
操作发现：
(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到加图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是_________；
(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC'的中点F，连精AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论.
实践探究：
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H.如图4所示，连接CC'，试求CH的长度.
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD、并且量得AB＝2cm，AC＝4cm.
操作发现：
(1)将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α＝∠BAC，得到加图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是_________；
(2)创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC'的中点F，连精AF并延长到点G，使FG＝AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论.
实践探究：
(3)缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H.如图4所示，连接CC'，试求CH的长度.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=
（＜45°）．先将△ABC以点B为旋转 中心，逆时针旋转90°得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AFG，连接DF，DG，AE，如图②．
（1）四边形ABDF的形状是 ；
（2）求证：四边形AEDG是平行四边形；
（3）若AB=2，=30°，则四边形AEDG的面积是 ．
（＜45°）．先将△ABC以点B为旋转 中心，逆时针旋转90°得到△DBE，再将△ABC以点A为旋转中心，顺时针旋转90°得到△AFG，连接DF，DG，AE，如图②．（1）四边形ABDF的形状是 ；
（2）求证：四边形AEDG是平行四边形；
（3）若AB=2，
=30°，则四边形AEDG的面积是 ．
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和
都是等腰直角三角形，
．
；
；
，
，请直接写出线段AM的长．
解答题-问答题
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较难
(0.4)
【推荐1】（1）如图1，在
中，分别以
、为斜边，向的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为
，点
分别为
边的中点.问：
是否全等？____（填“是”或“否”）；
（2）如图2，在中，分别以
为底边，向的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为，且
.点分别为
边的中点.
①试判断是否满足（1）中的关系？若满足，请说明理由；若不满足，请写之间存在的一种关系，并加以说明.
②若
，
，
的面积为32，求
的面积.
中，分别以、为斜边，向的形外作等腰直角三角形，直角的顶点分别为，点分别为边的中点.问：是否全等？____（填“是”或“否”）；（2）如图2，在
中，分别以为底边，向的形外作等腰三角形，顶角的顶点分别为，且.点分别为 边的中点.①试判断
是否满足（1）中的关系？若满足，请说明理由；若不满足，请写之间存在的一种关系，并加以说明.②若
，，的面积为32，求的面积.
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
【推荐2】在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝20，BC＝12．
（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若
则HQ＝ ．
（2）如图2，折叠
使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；
（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得
和
相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
（1）如图1，折叠△ABC使点A落在AC边上的点D处，折痕交AC、AB分别于Q、H，若
则HQ＝ ．（2）如图2，折叠
使点A落在BC边上的点M处，折痕交AC、AB分别于E、F．若FM∥AC，求证：四边形AEMF是菱形；（3）在（1）（2）的条件下，线段CQ上是否存在点P，使得
和相似？若存在，求出PQ的长；若不存在，请说明理由．
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的图象经过点
，
两点，
，
分别是方程
的两个实数根，且 
．
时，求函数
的最大值和最小值； 
轴的另一个交点为
，抛物线的顶点为
，求证：
