【推荐1】如图，点M是正方形ABCD的边BC上一点，连接AM，点E是线段AM上一点，∠CDE的平分线交AM延长线于点F．
(1)如图1，若点E为线段AM的中点，BM：CM＝1：2，BE＝，求AB的长；
(2)如图2，若DA＝DE，求证：BF+DF＝AF．

【推荐2】定义：如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的两倍，则称这样的三角形为“倍角三角形”．

（1）如图1，△ABC中，，，求证：△ABC是倍角三角形；
（2）若△ABC是倍角三角形，，，，求BC的长；
（3）如图2，△ABC的外角平分线AD与CB的延长线相交于点D，延长CA到点E，使得．若，请你找出图中的倍角三角形，并进行证明．

【推荐3】已知：在中，，．
   
(1)如图1，若点D在线段上，连接，在的右侧作，．
①线段和线段存在何种数量关系？请说明理由．
②请直接写出线段、、之间满足的数量关系_________．
(2)如图2，若点D在线段延长线上，连接，在的右侧作，，则线段、、之间满足的数量关系是_________．
(3)如图3，若点D在直线上，连接，在的左侧作，当，时，的面积为_________．

【推荐1】在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为．

   

(1)请直接写出、、三点坐标．
(2)如图，点是第四象限内抛物线上的一点，过点作轴的垂线，交直线于点，求线段长度的最大值；
(3)如图，若点在抛物线上且满足，求点的坐标；

【推荐2】如图，已知抛物线y＝ax²+bx+c（a≠0）过原点O和点A(3，﹣3)，F(1，)是该抛物线对称轴上的一个定点，过y轴上的点B(0，)作y轴的垂线l．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P(m，n)是抛物线上的任意一点，过点P作直线l的垂线，垂足为M．求证：点P在线段FM的垂直平分线上；
（3）点E为线段OA的中点，在抛物线上是否存在点Q，使QEF周长最小？若存在，求点Q的坐标和QEF周长的最小值；若不存在，请说明理由．

【推荐3】如图，的两条高与交于点，，．

   

(1)求证：；
(2)连结，试说明：是的垂直平分线；
(3)是射线上一点，且，动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点从点出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，当点到达点A时，，两点同时停止运动，设运动时间为秒，当与全等时，求的值．

【推荐2】如图1，抛物线y＝ax²﹣6ax+6（a≠0）与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0<m<8），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．

(1)求抛物线的函数表达式；
(2)当△PMN的周长是△AOB周长的时，求m的值；
(3)如图2，在（2）的条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为30°，连接E′A、E′B，在平面直角坐标系内找一点Q，使△AOE′∽△BOQ，并求出点Q的坐标．

【推荐1】综合与实践：
问题情境：
在数学综合与实践课上，张老师启示大家利用直线、线段以及点的运动变换进行探究活动．变换条件如下：如图 1，直线 AB，AC，BC 两两相交于 A，B，C 三点，得知△ABC是等边三角形，点 E 是直线 AC 上一动点（点 E 不与点 A，C 重合），点 F 在直线 BC上，连接 BE，EF，使 EF=BE．

独立思考：
（1）张老师首先提出了这样一个问题：如图 1，当E是线段 AC 的中点时，确定线段 AE与 CF 的数量关系，请你直接写出结论：AE____ CF（填“＞” “＜”或“=”）．
提出问题：
（2）“奋斗”小组受此问题的启发，提出问题：若点E是线段 AC 上的任意一点，其他条件不变，（1）中的结论是否成立？该小组认为结论仍然成立，理由如下：如图 2，过点 E作 ED∥BC，交 AB 于点 D．（请你补充完整证明过程）
拓展延伸：
（3）“缜密”小组提出的问题是：动点E的运动位置如图3，图4所示，其他条件不变，根据题意补全图形，并判断线段AE与CF的数量关系是否发生变化？ 请你选择其中一种予以证明．

     

（4）“爱心”小组提出的问题是：若等边△ABC 的边长为 ，AE=1，则BF 的长为__________．（请你直接写出结果）．

【推荐2】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°．半径为1的⊙A与边AB相交于点D，与边AC相交于点E，连接DE并延长，与边BC的延长线交于点P．
(1)当∠B = 30°时，求证：△ABC∽△EPC；
(2)当∠B = 30°时，连接AP，若△AEP与△BDP相似，求CE的长；
(3)若CE = 2，BD = BC，求∠BPD的正切值．

【推荐3】在等边中，点在边上，点在边上，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接．

(1)如图1，点是的中点，点与点重合，连接．若，求的长；
(2)如图2，点在上且，求证：；
(3)如图3，，，且点与点不重合，连接．过点作的垂线交于点，连接、．将沿着翻折得到，连接．当的周长最小时，直接写出的面积．