阅读理解：
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试确定E点位置．
如图①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E不与A、B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：
（1）如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；
（2）如图②，在矩形ABCD中，A、B、C、D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图②中画出矩形ABCD的边AB上的强相似点；
（3）如图③，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处，若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，试确定E点位置．
更新时间：2020-01-14 13:36:21
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解答题-证明题
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较难
(0.4)
解题方法
【推荐1】综合与实践
动手操作：
第一步：如图①，将矩形纸片
沿过点O的直线折叠，使得点A，点D都落在
边上，此时，点A与点D重合，记为E，折痕分别为
、
，如图②；
第二步：再沿过点O的直线折叠，使得直线
与直线
重合，且O、E、C三点在同一条直线上，折痕分别为
、
，如图③；
第三步：在图③的基础上继续折叠，使
与
重合，得到图④，展开铺平，连接
，
交于点N，如图⑤，图中的虚线为折痕．
问题解决：
(1)在图⑤中，
的度数是 ；
(2)在图⑤中，请判断四边形
的形状，并说明理由；
(3)试判断线段
与
的数量关系，并证明；
(4)若
，则
的长是 ．（提示：
）
动手操作：
第一步：如图①，将矩形纸片
沿过点O的直线折叠，使得点A，点D都落在边上，此时，点A与点D重合，记为E，折痕分别为、，如图②；第二步：再沿过点O的直线折叠，使得直线
与直线重合，且O、E、C三点在同一条直线上，折痕分别为、，如图③；第三步：在图③的基础上继续折叠，使
与重合，得到图④，展开铺平，连接，交于点N，如图⑤，图中的虚线为折痕．问题解决：
(1)在图⑤中，
的度数是 ；(2)在图⑤中，请判断四边形
的形状，并说明理由；(3)试判断线段
与的数量关系，并证明；(4)若
，则的长是 ．（提示：）
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较难
(0.4)
【推荐2】如图，点A是x轴非负半轴上的动点，点B坐标为（0，4），M是线段AB的中点，将点M绕点A顺时针方向旋转90°得到点C，过点C作x轴的垂线，垂足为F，过点B作y轴的垂线与直线CF相交于点E，连接AC，BC，设点A的横坐标为t．
（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；
（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（Ⅲ）当t为何值时，BC+CA取得最小值．
（Ⅰ）当t=2时，求点M的坐标；
（Ⅱ）设ABCE的面积为S，当点C在线段EF上时，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
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(0.4)
名校
【推荐3】某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BO）的对角线的交点O旋转（图①⇒图②），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．
（1）如图①，当三角板一直角边与OD重合时，该学习小组成员意外的发现：BN2＝CD2+CN2，请你说明理由；
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）如图③，若AD＝8，AB＝6，E为矩形外的一点，且AE⊥CE，F为AE的中点，O为AC的中点，取AO的中点G，连接BG，当F在线段BG上时，则BF的值为 ．
（1）如图①，当三角板一直角边与OD重合时，该学习小组成员意外的发现：BN2＝CD2+CN2，请你说明理由；
（2）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由；
（3）如图③，若AD＝8，AB＝6，E为矩形外的一点，且AE⊥CE，F为AE的中点，O为AC的中点，取AO的中点G，连接BG，当F在线段BG上时，则BF的值为 ．
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(0.4)
名校
解题方法
【推荐1】问题提出
（1）如图1，在矩形中，
，
，点
在
边上，则满足
的点有______个；
问题探究
（2）如图2，正方形中，
，点
、
分别在边，
边上（含端点），且
，
与
交于点，求
面积的最大值；
问题解决
（3）如图3，有一张五边形卡片
，小明经过测量得出：
，
，
，
，
．小明想在这个五边形卡片中裁剪出一个三角形卡片
，使得
，且同时满足三角形卡片面积最大．请问：小明的想法能否实现？若能，求出面积的最大值；若不能，请说明理由．（参考数据：
，
）
（1）如图1，在矩形
中，，，点在边上，则满足的点有______个；问题探究
（2）如图2，正方形
中，，点、分别在边，边上（含端点），且，与交于点，求面积的最大值；问题解决
（3）如图3，有一张五边形卡片
，小明经过测量得出：，，，，．小明想在这个五边形卡片中裁剪出一个三角形卡片，使得，且同时满足三角形卡片面积最大．请问：小明的想法能否实现？若能，求出面积的最大值；若不能，请说明理由．（参考数据：，）
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(0.4)
【推荐2】【问题探究】如图①，在正方形中，
，点为
上的点，
，连接，点
为上的点，过点作
交于点
，交于点
，求
的长度．
此问题可以过点作
于点
，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证
．根据全等三角形的性质得出
， 再由勾股定理可以求得
；
【类比迁移】如图②，在矩形中，
， 
， 连接
，过的中点作
交于点，交于点， 求的长度．
【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为
． 测得 
米，
米， 
．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度．
中，，点为上的点，，连接，点为上的点，过点作交于点，交于点，求的长度．此问题可以过点
作于点，根据正方形的性质及矩形的判定与性质，易证．根据全等三角形的性质得出， 再由勾股定理可以求得 ；【类比迁移】如图②，在矩形
中，， ， 连接，过的中点作交于点，交于点， 求的长度．【拓展应用】如图③，李大爷家有一块平行四边形的菜地．记为
． 测得 米，米， ．为了管理方便，李大爷沿着对角线开一条小路，过这小路的正中间，开了另一条垂直于它的小路（小路面积忽略不计）．直接写出新开出的小路的长度．
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，求⊙O的半径．
