【推荐1】如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，过 A 作 AC 的垂线交∠BCA 的角分线于点 D．CD 交 AB于点 F
（1）求证：∠ADF＝∠AFD；
（2）如图 2，DE⊥AF，若 AC+BC=16，DE=4，求 BC 的长．

【推荐2】如图，在平行四边形中，两条对角线相交于点，经过且垂直于，分别与边、交于点F、．

(1)求证：四边形为菱形；
(2)若，，且，求菱形的面积．

【推荐3】如图，已知，点是上一点，交于点，且．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．

【推荐1】在矩形中，，.分别以，所在直线为轴，轴，建立如图所示的平面直角坐标系.点是边的中点，过点的反比例函数的图象与边交于点.

（1）求的值及点的坐标；
（2）问在轴上是否存在点，使得的值最小，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【推荐2】两个村庄M，N与两条公路AC，AB的位置如图所示，现打算在O处建一个垃圾回收站，要求回收站到两个村庄M，N的距离必须相等，到两条公路AC，AB的距离也必须相等，那么点O应选在何处？请在图中用尺规作图中找出点O．

【推荐3】【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】

(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为          米．
(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为        ．

【推荐1】在△ABM中，∠ABM=45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC．

（1）如图1，若AM=3，MC=2，AB=3，求△ABC中AB边上的高．
（2）如图2，点D是线段AM上一点，MD=MC，点E是△ABC外一点， EC=AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF=∠CEF．

【推荐2】如图，在中，，，点D是边的中点，交于点E，连接．

(1)求的度数；
(2)，求的面积．

【推荐3】【问题背景】
（1）如图1，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AQ⊥BC于点Q，则　 　；
【知识应用】
（2）如图2，△ABC和△ADE都是等腰三角形，∠BAC＝∠DAE＝120°，D、E、C三点在同一条直线上，连接BD．求证：△ADB≌△AEC．
（3）请写出线段AD，BD，CD之间的等量关系式，并说明理由？

【推荐2】如图，在等边△ABC 内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将线段AD绕点A旋转到AE，使∠DAE=∠BAC，连接EC．
（1）求CE的长；   
（2）求cos∠CDE的值．

【推荐3】如图，平行四边形中，平分交于点，且，是直角．求证：平分．