【推荐1】已知：如图（1）直线AB、CD被直线MN所截，∠1＝∠2．

（1）求证：AB∥CD；
（2）如图（2），点E在AB，CD之间的直线MN上，P、Q分别在直线AB、CD上，连接PE、EQ，PF平分∠BPE，QF平分∠EQD，则∠PEQ和∠PFQ之间有什么数量关系，请直接写出你的结论；
（3）如图（3），在（2）的条件下，过P点作PH∥EQ交CD于点H，连接PQ，若PQ平分∠EPH，∠QPF：∠EQF＝1：5，求∠PHQ的度数．

【推荐2】如图，是菱形的对角线，将线段绕点B逆时针旋转得线段，的平分线与边交点为E．

(1)如图1，点F在的延长线上，求证：平分；
(2)如图2，点F在上，若，求的值；
(3)如图3，若与交于点G，延长、交于点M，延长、交于点H，已知，求的值．

【推荐3】如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．
求证：（1）BE⊥CE；
（2）BC＝AB+CD．
   

【推荐2】直线相交于点于点，作射线，且在的内部．

(1)当点在直线的同侧；
①如图1，若，求的度数；
②如图2，若平分，请判断是否平分，并说明理由；
(2)若，请直接写出与之间的数量关系．

【推荐3】如果两个角的差等于，就称这两个角互为“兄弟角”．其中一个角叫做另一个角的“兄弟角”．例如，，，则a和β互为“兄弟角”，即a是β的“兄弟角”，β也是α的“兄弟角”．
   
(1)已知和互为“兄弟角”．，且和互补，求的度数．
(2)在中，，是的角平分线，
①如图1，点P在射线上，平分，与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，求的度数．
②如图2，若，射线平分且与射线交于点N，若与互为“兄弟角”，则的度数为           ．
③如图3，若于点P，、相交于点F，若与互为“兄弟角”，直接写出的度数．

【推荐2】是等边三角形，点D是边上动点，，把沿对折，得到．

(1)如图1，若，则            °．
(2)如图2，点P在延长线上，且．
①连接，试探究，，之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接，若，C，P三点共线，，，求的长．

【推荐3】如图，内接于，点在的延长线上，．
（1）求证；；
（2）若，求的长．

【推荐1】“一带一路”让中国和世界更紧密，“中欧铁路”为了安全起见在某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，如图1所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A转动的速度是每秒2度，灯B转动的速度是每秒1度，假定主道路是平行的，即，且．

（1）填空：_________；
（2）①若灯B射线先转动，灯A射线才开始转动，在灯B射线到达之前，设灯A转动t秒，则_________， ________；（用含t的式子表示）
②在①的条件下，若，则________秒．
（3）如图3，若两灯同时转动，在灯A射线到达之前，若射出的光束交于点C，过C作交于点D，且，则在转动过程中，请探究与的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．

【推荐2】已知，如图：射线分别与直线、相交于、两点，的角平分线与直线相交于点，射线交于点，设，且．
（1）________，________；直线与的位置关系是______；
（2）如图，若点是射线上任意一点，且，试找出与之间存在一个什么确定的数量关系？并证明你的结论．
（3）若将图中的射线绕着端点逆时针方向旋转（如图）分别与、相交于点和点时，作的角平分线与射线相交于点，问在旋转的过程中的值变不变？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由．

【推荐3】已知：如图1，DE∥AB，DF∥AC．
（1）求证：∠A=∠EDF．
（2）点G是线段AC上的一点，连接FG，DG．
①若点G是线段AE的中点，请你在图2中补全图形，判断∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系，并证明．
②若点G是线段EC上的一点，请你直接写出∠AFG，∠EDG，∠DGF之间的数量关系．