【推荐1】如图，内接于，直径于点，连结．
   
（1）求证：；
（2）若，，求图中阴影部分面积．

【推荐2】（1）如图所示，等边三角形内接于圆，点是劣弧上任意一点（不与重合），连接、、，求证：．
   
（2）[初步探索]小明同学思考如下：将绕点顺时针旋转到，使点与点重合，可得、、三点在同一直线上，进而可以证明为等边三角形，根据提示，解答下列问题：根据小明的思路，请你完成证明．若圆的半径为，则的最大值为______．
（3）类比迁移：如图所示，等腰内接于圆，，点是弧上任一点（不与、重合），连接、、，若圆的半径为，试求周长的最大值．
   
（4）拓展延伸：如图所示，等腰，点A、在圆上，，圆的半径为连接，试求的最小值．
   

【推荐3】已知：⊙O是△ABC的外接圆，点M为⊙O上一点.
（1）如图，若△ABC为等边三角形，BM=1，CM=2，求AM的长；

小明在解决这个问题时采用的方法是：延长MC到E，使ME=AM，从而可证△AME为等边三角形，并且△ABM≌△ACE，进而就可求出线段AM的长．
请你借鉴小明的方法写出AM的长，并写出推理过程．
（2）若△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，，（其中b＞a），直接写出AM的长(用含有a，b的代数式表示).

【推荐1】已知平面直角坐标系中，以原点O为圆心，5为半径的交y轴的正半轴于点P，小刚同学用手中的三角板（）进行了如下的实验操作：
   
(1)如图1，将三角板的斜边放置于x轴上，边恰好与相切于点D，则切线长       ；
(2)如图2，将三角板的顶点A在上滑动，直角顶点B恰好落在x轴的正半轴上，若边与相切于点M，求点B的坐标；
(3)请在备用图上继续操作：将三角板的顶点A继续在上滑动，直角顶点B恰好落在上且在y轴右侧，边与y轴的正半轴交于点G，与的另一交点为H，若，求的长．

【推荐2】如图，直角坐标系中，已知两点，，点B在第一象限且为正三角形．的外接圆交y轴的正半轴于点C．

(1)点B的坐标是______，点C的坐标是______；
(2)过点C的圆的切线交x轴于点D，则图中阴影部分的面积是______；
(3)若于点H，点P在线段上．点Q在y轴的正半轴上，，与交于点M．
①求面积的最大值；
②当为等腰三角形时，求点Q的坐标．

【推荐1】如图1，在等腰三角形中，，，点D从A点出发向终点B运动，过点D作交折线于点G，设．

   

(1)________；（用含x的代数式表示）
(2)连接，设的面积为y，求y与x的函数表达式，并直接写出当x取何值时，y有最大值；
(3)如图2，当点G在边上时，作点G关于点C的对称点M．当G是的三等分点时，求x的值．

【推荐2】如图1，已知是半圆的直径，是半圆的切线，平行于弦．

(1)连接，若，求的度数；
(2)如图2，过作于，连接与交于点，求证：．

【推荐3】如图1，在中，为的中点，为线段上的一个动点，连接，过作交于点．

（1）如图2，是线段上的任意两个点，当点分别移动到，时，过作的垂线与的交点分别为，则          
（2）若图中的，其余条件不变，求的值（用含a的式子表示）．
（3）若线段在线段移动时，请直接写出的取值范围．