1 . 如图，点，分别在线段，上， ，．

(1)求证：．
证明：（已知），
．
（已知），
　　（等量代换）．
　　 　　．
(2)若，求的度数．

2 . 【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：．
【类比迁移】如图②，、、的数量关系为         ．（不需要证明）
【结论应用】如图③，已知，，，则         °．

3 . 实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图1，一束光线m射到平面镜a上，被a反射后的光线为n，则入射光线 m、反射光线n与平面镜a所夹的锐角．

(1)利用这个规律人们制作了潜望镜，图2是潜望镜工作原理示意图，、是平行放置的两面平面镜．已知光线沿直线m进入潜望镜，最后沿直线n射出，求证：．
(2)显然，改变两面平面镜、之间的位置关系，经过两次反射后，入射光线m与反射光线n之间的位置关系会随之改变，如图3，一束光线m射到平面镜上，被反射到平面镜上，又被反射．若被反射出的光线n和光线m平行， 且 则         
(3)请你猜想：图3中， 当两平面镜 、的夹角           时，可以使任何入射光线m经过平面镜、的两次反射后，与反射光线n平行，请说明理由．

4 . 【阅读理解】
（1）如图1， 与 的边与互相平行，另一组边、交于点E，且点E在、之间，且在直线右侧．求证：
老师在黑板中写出了部分证明过程，请你将下面的推理过程及依据补充完整．
证明：如图2，过点E作．（         ），
（已知），        ，
．（         ），即
【理解应用】
（2）如图3，当图1中的点E 在直线左侧时，其它条件不变，若 求 的度数．
【归纳总结】
（3）与的边与互相平行，另一组边、交于点E，且点E在、之间，直接写出 之间的数量关系．

5 . 如图，，，．求证：．请补全证明过程，并在括号内填写相应的理论依据．
证明：∵（已知），
∴______（       ）．
∴______（       ）．
∵（已知），
∴（等量交换）．
∴（       ）．
∴______（       ）．
∵（已知），
∴（       ）．
∴（等量交换）．
   

6 . 如图，于D，点F是上任意一点，于E，且，．
   
(1)求证：；
请补全解答过程，即在横线处填上结论或理由．
证明：，（已知）
∴____________，（垂直于同一直线的两直线平行）
，（____________________________）
又，（已知）
，（等量代换）
∴____________，（__________________________）
；（__________________________）
(2)若平分，求的度数．

7 . 如图，已知，且．

(1)求证：，
请补充完成下面证明：
，，
．
______
____________
又已知，
______
同位角相等，两直线平行．
______
(2)若平分，且，，求的度数．

8 . 问题情境：
   
(1)如图1，已知，求证：；（过A点作，请按照上述思路继续完成证明过程）
尝试运用：
(2)如图2，若，且经过A点，，求的度数；
拓广探索：
(3)如图3，在中，点D是延长线上的一点，点M是延长线上的一点，过点D作，平分，平分，与交于点G，与交于点F，若，求的度数．

9 . 【探究结论】
（1）如图1，，E为形内一点，连接、得到，则、、的关系是                   （直接写出结论，不需要证明）：
【探究应用】利用（1）中结论解决下面问题：
（2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：．
（3）如图3，已知，F为上一点，，，若，的度数为整数，则的度数为                ．

   

10 . 阅读下面材料：
（1）小亮同学遇到这样一个问题：

已知：如图甲，，为直线之间一点，连接得到．
求证：．
下面是小亮写出了该问题的证明，请你帮他把证明过程补充完整．
证明：过点作，
则有___________．
，
___________，
___________．
．
（2）请你参考小亮思考问题的方法，解决问题：如图乙，直线，平分，平分，若，，求的度数，（温馨提示：过点 作）．