2018九年级·全国·专题练习
1 . (2017山东省青岛市)数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应用.
探究一:求不等式|x﹣1|<2的解集
(1)探究|x﹣1|的几何意义
如图①,在以O为原点的数轴上,设点A′对应的数是x﹣1,有绝对值的定义可知,点A′与点O的距离为|x﹣1|,可记为A′O=|x﹣1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB,此时点A对应的数是x,点B对应的数是1.因为AB=A′O,所以AB=|x﹣1|,因此,|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.
(2)求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3,﹣1.
(3)求不等式|x﹣1|<2的解集
因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围.
请在图②的数轴上表示|x﹣1|<2的解集,并写出这个解集.
探究二:探究的几何意义
(1)探究的几何意义
如图③,在直角坐标系中,设点M的坐标为(x,y),过M作MP⊥x轴于P,作MQ⊥y轴于Q,则P点坐标为(x,0),Q点坐标为(0,y),OP=|x|,OQ=|y|,在Rt△OPM中,PM=OQ=|y|,则MO=,因此, 的几何意义可以理解为点M(x,y)与点O(0,0)之间的距离MO.
(2)探究的几何意义
如图④,在直角坐标系中,设点A′的坐标为(x﹣1,y﹣5),由探究二(1)可知,A′O=,将线段A′O先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段AB,此时点A的坐标为(x,y),点B的坐标为(1,5),因为AB=A′O,所以AB=,因此的几何意义可以理解为点A(x,y)与点B(1,5)之间的距离AB.
(3)探究的几何意义
请仿照探究二(2)的方法,在图⑤中画出图形,并写出探究过程.
(4)的几何意义可以理解为: .
拓展应用:
(1)+的几何意义可以理解为:点A(x,y)与点E(2,﹣1)的距离和点A(x,y)与点F (填写坐标)的距离之和.
(2)+的最小值为 (直接写出结果)
探究一:求不等式|x﹣1|<2的解集
(1)探究|x﹣1|的几何意义
如图①,在以O为原点的数轴上,设点A′对应的数是x﹣1,有绝对值的定义可知,点A′与点O的距离为|x﹣1|,可记为A′O=|x﹣1|.将线段A′O向右平移1个单位得到线段AB,此时点A对应的数是x,点B对应的数是1.因为AB=A′O,所以AB=|x﹣1|,因此,|x﹣1|的几何意义可以理解为数轴上x所对应的点A与1所对应的点B之间的距离AB.
(2)求方程|x﹣1|=2的解
因为数轴上3和﹣1所对应的点与1所对应的点之间的距离都为2,所以方程的解为3,﹣1.
(3)求不等式|x﹣1|<2的解集
因为|x﹣1|表示数轴上x所对应的点与1所对应的点之间的距离,所以求不等式解集就转化为求这个距离小于2的点对应的数x的范围.
请在图②的数轴上表示|x﹣1|<2的解集,并写出这个解集.
探究二:探究的几何意义
(1)探究的几何意义
如图③,在直角坐标系中,设点M的坐标为(x,y),过M作MP⊥x轴于P,作MQ⊥y轴于Q,则P点坐标为(x,0),Q点坐标为(0,y),OP=|x|,OQ=|y|,在Rt△OPM中,PM=OQ=|y|,则MO=,因此, 的几何意义可以理解为点M(x,y)与点O(0,0)之间的距离MO.
(2)探究的几何意义
如图④,在直角坐标系中,设点A′的坐标为(x﹣1,y﹣5),由探究二(1)可知,A′O=,将线段A′O先向右平移1个单位,再向上平移5个单位,得到线段AB,此时点A的坐标为(x,y),点B的坐标为(1,5),因为AB=A′O,所以AB=,因此的几何意义可以理解为点A(x,y)与点B(1,5)之间的距离AB.
(3)探究的几何意义
请仿照探究二(2)的方法,在图⑤中画出图形,并写出探究过程.
(4)的几何意义可以理解为: .
拓展应用:
(1)+的几何意义可以理解为:点A(x,y)与点E(2,﹣1)的距离和点A(x,y)与点F (填写坐标)的距离之和.
(2)+的最小值为 (直接写出结果)
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解题方法
2 . 在平面直角坐标系中,O为原点,点,点B在第一象限,,C为的中点,.
(1)如图①,求点B的坐标;
(2)将沿x轴向右平移得,点O,A,C的对应点分别为.设,与重叠部分的面积为S.
①如图②,当与重叠部分为四边形时,与相交于点D,与相交于点E,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;
②当时,求t的值(直接写出结果即可).
(1)如图①,求点B的坐标;
(2)将沿x轴向右平移得,点O,A,C的对应点分别为.设,与重叠部分的面积为S.
①如图②,当与重叠部分为四边形时,与相交于点D,与相交于点E,试用含有t的式子表示S,并直接写出t的取值范围;
②当时,求t的值(直接写出结果即可).
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2021-04-29更新
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1085次组卷
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3卷引用:2021年天津市中考真题数学变式汇编5
3 . 在平面直角坐标系中,两个形状、大小完全相同的三角板OBC,DEF,按如图所示的位置摆放,O为原点,点B(12,0) ,点B与点D重合,边OB与边DE都在x轴上.其中,∠C=∠DEF=90°,∠OBC=∠F=30°.
(1)如图①,求点C坐标;
(2)现固定三角板DEF,将三角板OBC沿x轴正方向平移,得到△O′B′C′ ,当点O′ 落点D上时停止运动.设三角板平移的距离为x,两个三角板重叠部分的面积为y.求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)条件下,设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中,当点M与点N之间的距离最小时,点M的坐标(直接写出结果即可).
(1)如图①,求点C坐标;
(2)现固定三角板DEF,将三角板OBC沿x轴正方向平移,得到△O′B′C′ ,当点O′ 落点D上时停止运动.设三角板平移的距离为x,两个三角板重叠部分的面积为y.求y关于x的函数解析式,并写出自变量x的取值范围;
(3)在(2)条件下,设边BC的中点为点M,边DF的中点为点N.直接写出在三角板平移过程中,当点M与点N之间的距离最小时,点M的坐标(直接写出结果即可).
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2020-06-22更新
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933次组卷
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3卷引用:2020年河北中考数学二模几何综合题
4 . 如图1,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,点A(a,0)、B(b,O)分别在x轴正半轴和y轴正半轴上,且,点P从原点出发以每秒2个单位长度的速度沿x轴正半轴方向运动.
(1)求点A、B的坐标;
(2)连接PB,设三角形ABP的面积为s,点P的运动时间为t,请用含t的式子表示s,并直接写出t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,将线段OB沿x轴正方向平移,使点O与点A重合,点B的对应点为点D,连接BD,将线段PB沿x轴正方向平移,使点B与点D重合,点P的对应点为点Q,取DQ的中点H,是否存在t的值,使三角形ABP的面积等于三角形ADH的面积?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(1)求点A、B的坐标;
(2)连接PB,设三角形ABP的面积为s,点P的运动时间为t,请用含t的式子表示s,并直接写出t的取值范围;
(3)在(2)的条件下,将线段OB沿x轴正方向平移,使点O与点A重合,点B的对应点为点D,连接BD,将线段PB沿x轴正方向平移,使点B与点D重合,点P的对应点为点Q,取DQ的中点H,是否存在t的值,使三角形ABP的面积等于三角形ADH的面积?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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2018-06-29更新
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619次组卷
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3卷引用:专题13 和平移有关的综合大题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练(北师大版)
(已下线)专题13 和平移有关的综合大题-【微专题】2022-2023学年八年级数学下册常考点微专题提分精练(北师大版)黑龙江省尚志市希望中学2017-2018学年七年级下学期第三次月考数学试题【校级联考】江苏省无锡宜兴市宜城环科园教学联盟2018-2019学年八年级下学期第一次质量测试数学试题
2011·北京·中考真题
真题
5 . 阅读下面材料:
小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于_____.
小伟遇到这样一个问题,如图1,在梯形ABCD中,AD∥BC,对角线AC,BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1,试求以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形的面积.
小伟是这样思考的:要想解决这个问题,首先应想办法移动这些分散的线段,构造一个三角形,再计算其面积即可.他先后尝试了翻折,旋转,平移的方法,发现通过平移可以解决这个问题.他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E,得到的△BDE即是以AC,BD,AD+BC的长度为三边长的三角形(如图2).
参考小伟同学的思考问题的方法,解决下列问题:
如图3,△ABC的三条中线分别为AD,BE,CF.
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD,BE,CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹);
(2)若△ABC的面积为1,则以AD,BE,CF的长度为三边长的三角形的面积等于_____.
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2016-12-05更新
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969次组卷
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8卷引用:热点专题4动态探究问题-2020年《三步冲刺中考·数学》之热点专题冲刺(广东专用)
(已下线)热点专题4动态探究问题-2020年《三步冲刺中考·数学》之热点专题冲刺(广东专用)(已下线)专题05 特殊四边形中的平移综合问题(九年级上重点突破)北师大版(已下线)非选择题专练02 尺规作图(针对中考第17题)-2021年《三步冲刺中考·数学》(陕西专用)之第2步大题夺高分(已下线)专题08 图形的变换-2022年中考数学毕业班二轮热点题型归纳与变式演练(全国通用)(已下线)2011年初中毕业升学考试(北京卷)数学(已下线)2011年初中毕业升学考试(山东临沂卷)数学中考数学图形的变化、图形与坐标过关演练(五)北京市第五十七中学2022~2023学年八年级下学期期中数学试题