1 . 给定正整数n,,记从的一一映射f称为是可划分的:若X可划分为k个非空子集,,…,,且(,2,…,k)(即,且,,…,两两的交集为空集,).已知f是一个X的划分的一一映射,,,…,是1,2,…,n的一个排列,则的最小值为______ .
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2 . 设函数满足对于每个,均存在一个,使得,其中,是f复合m次.设是满足上述条件的k中的最小值,证明:数列无界.
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3 . 平面上有一个阶完全图,对其边进行三染色,且每种颜色至少染一条边.现假设在完全图中至多选出k条边,且把这k条边的颜色全部变为给定三色中的某种颜色后,此图同时也可以被该种颜色的边连通.若无论初始如何染色,都可以达到目的,求k的最小值.
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4 . 已知是一个有限集.是满足如下性质的两个分划:若,则.求的最小值.
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5 . 设集合是由平面上任意三点不共线的4039个点构成的集合,且其中2019个点为红色,2020个点为蓝色;在平面上画出一组直线,可以将平面分成若干区域,若一组直线对于点集满足下述两个条件,称这是一个“好直线组”:
(1)这些直线不经过该点集中的任何一个点;
(2)每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.
求的最小值,使得对于任意的点集,均存在由条直线构成的“好直线组”.
(1)这些直线不经过该点集中的任何一个点;
(2)每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.
求的最小值,使得对于任意的点集,均存在由条直线构成的“好直线组”.
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6 . 求证:对任意正整数k,均存在n为k的倍数,且n的十进制表示以2020开头.
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7 . 设为集合的子集,若存在正整数,使得对任意整数,总能找到正实数,满足,且在十进制表示下的所有数字(不包括开头的0)都属于集合,则的最小值为___ (表示集合的元素个数).
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8 . 对两个不全等的矩形A、B,称,若A的长不小于B的长,且A的宽也不小于B的宽.现在若对任意的n个两两不全等的,长和宽均为不超过2020的正整数的矩形,都必存在其中3个矩形A、B、C,使得,求n的最小值.
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9 . 某班有10名同学计划在暑假举行若干次聚会,要求每名同学至多参加三次聚会,并且任意两名同学至少在一次聚会中相遇.求最大的正整数,使得无论如何安排符合上述要求的聚会,都一定存在某次聚会有至少名同学参加.
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