1 . “阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体,它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥,如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体,则该阿基米德多面体的棱有______ 条.
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2023-07-05更新
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171次组卷
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4卷引用:11.1.3 多面体与棱柱-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)
(已下线)11.1.3 多面体与棱柱-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)湖北省武汉市部分市级示范校2022-2023学年高一下学期5月联考数学试题(已下线)11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)(已下线)专题08多面体与旋转体(2个知识点3种题型1种高考考法)-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版2020必修第三册)
2023高三·全国·专题练习
解题方法
2 . 北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用,在数学上用曲率刻画空间弯曲性.规定:多面体的顶点的曲率等于
与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个顶点有
个面角,每个面角是
,所以正四面体在每个顶点的曲率为
,故其总曲率为
.给出下列三个结论:
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/6/16/3260674968248320/3260854239141888/STEM/79002e99bec346b2bc124025082f81ba.png?resizew=264)
①正方体在每个顶点的曲率均为
;
②任意四棱锥的总曲率均为
;
③若某类多面体的顶点数
,棱数
,面数
满足
,则该类多面体的总曲率是常数.
其中,所有正确的结论是____________ (填写序号).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/35e2d7c958e99bcd9d7f251c19ee3544.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5ca7d1107389675d32b56ec097464c14.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac1a63ab608517bb10aa036783dfb51f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ba7b2dd83fcacead6b6c7733503dfcee.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/20b3a91ccf6028608cd03df7072f6536.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2023/6/16/3260674968248320/3260854239141888/STEM/79002e99bec346b2bc124025082f81ba.png?resizew=264)
①正方体在每个顶点的曲率均为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d49f8a63ddbca52039fa9ab44cda6b29.png)
②任意四棱锥的总曲率均为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/20b3a91ccf6028608cd03df7072f6536.png)
③若某类多面体的顶点数
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/be54e84508decfcce6d2fcbe6c8c1a92.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2a30f3a8b673cc28bd90c50cf1a35281.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0ed1ec316bc54c37c4286c208f55667.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c91c4472879d107d42da5b07fab777e.png)
其中,所有正确的结论是
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3 . 正多面体各个面都是全等的正多边形,其中,面数最少的是正四面体,面数最多的是正二十面体,它们被称为柏拉图多面体.如图,正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足:顶点数-棱数+面数
,则正二十面体的顶点的个数为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0204f76cda5ea4ced714588be1efeaa.png)
A.30 | B.20 | C.12 | D.10 |
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2023-06-06更新
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279次组卷
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4卷引用:11.1.3 多面体与棱柱-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)
(已下线)11.1.3 多面体与棱柱-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)2023版 湘教版(2019) 必修第二册 过关斩将 第4章 4.1 空间的几何体 4.1.1 几类简单几何体 第1课时 几类简单多面体(已下线)11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)(已下线)专题08多面体与旋转体(2个知识点3种题型1种高考考法)-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练(沪教版2020必修第三册)
名校
4 . 数学中有很多公式都是数学家欧拉(Leonhard Euler)发现的,它们都叫欧拉公式,分散在各个数学分支之中,任意一个凸多面体的顶点数V.棱数E.面数F之间,都满足关系式
,这个等式就是立体几何中的“欧拉公式”.若一个凸二十面体的每个面均为三角形,则由欧拉公式可得该多面体的顶点数为_____________
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0c91c4472879d107d42da5b07fab777e.png)
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2024-01-22更新
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551次组卷
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7卷引用:2024届高三新高考改革数学适应性练习(4)(九省联考题型)
2024届高三新高考改革数学适应性练习(4)(九省联考题型)(已下线)模块一 专题5 基本立体图形和直观图 A基础卷(已下线)13.1 基本立体图形(2)-【帮课堂】(苏教版2019必修第二册)(已下线)模块四 专题2 高考新题型专练(新定义专练)(人教A)(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题二 交汇世界文化 微点2 与世界文化遗产有关的的立体几何问题综合训练【基础版】(已下线)专题05 立体几何初步客观题热点题型(2) -期末真题分类汇编(江苏专用)湖南省张家界市慈利县第一中学2020-2021学年高一下学期期中检测数学试卷
5 . 多面体的欧拉定理:简单多面体的顶点数V、棱数E与面数F有关系
.请运用欧拉定理解决问题:碳
具有超导特性、抗化学腐蚀性、耐高压以及强磁性,是一种应用广泛的材料.它的分子结构十分稳定,形似足球,也叫足球烯,如图所示,
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/7/9c8ed6fe-8d43-4e4c-8d2d-1584db2b1906.png?resizew=162)
碳
的分子结构是—个由正五边形面和正六边形面共32个面构成的凸多面体,60个碳原子处于多面体的60个顶点位置,则32个面中正五边形面的个数是___________ .
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a098e3851f80b3d3c273d34416c4778e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aba41c8911fd53f4d091e2230af5e213.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/4/7/9c8ed6fe-8d43-4e4c-8d2d-1584db2b1906.png?resizew=162)
碳
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aba41c8911fd53f4d091e2230af5e213.png)
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2023-04-05更新
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941次组卷
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6卷引用:压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练
(已下线)压轴题立体几何新定义题(九省联考第19题模式)练(已下线)第六章 突破立体几何创新问题 专题一 跨学科交汇问题 微点1 跨学科交汇问题(一)【培优版】上海市大同中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题(已下线)11.3 多面体与旋转体(四大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)(已下线)模块四 专题8 高考新题型(复杂情景题专训)基础夯实练(人教A)上海市复兴高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
名校
6 . 如图,
是一种碳原子簇,它是由60个碳原子构成的,其结构是以正五边形和正六边形面组成的凸32面体,这60个
原子在空间进行排列时,形成一个化学键最稳定的空间排列位置,恰好与足球表面格的排列一致,因此也叫足球烯.根据杂化轨道的正交归一条件,两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角
满足:
,式中
分别为杂化轨道中
轨道所占的百分数.
中的杂化轨道为等性杂化轨道,且无
轨道参与杂化,碳原子杂化轨道理论计算值为
,它表示参与杂化的
轨道数之比为
,由此可计算得一个
中的凸32面体结构中的五边形个数和两个等性杂化轨道的最大值之间的夹角的余弦值分别为( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a987c19fd38acc800b755a1b7d3af501.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca66a268d6f46e0e9d5d9151b785be60.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/cbdcdff70425d499c7054270d1b761ec.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9bb3edc8a79bfa65edb07a5e1d5ae783.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4dc53a57e7663036b1da11b83cbf034e.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a987c19fd38acc800b755a1b7d3af501.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d9b6b9fa864bde6d1e48b68b1b8936c6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7b57642c6e3c040ad4b674b16593aae1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0f7b70ba514e39bb75a128459df843ce.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4f196b35176f37efcf2fe98d36a19ab.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a987c19fd38acc800b755a1b7d3af501.png)
A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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7 . 现代几何学用曲率概念描述几何体的弯曲程度.约定:多面体在每个顶点处的曲率等于
减去该点处所有面角之和(多面体每个侧面的内角叫做多面体的面角),一个多面体的总曲率等于该多面体各顶点处的曲率之和.例如:正方体在每个顶点处有3个面角,每个面角的大小是
,所以正方体在各顶点处的曲率为
.按照以上约定,四棱锥的总曲率为__________ ;若正十二面体(图1)和正二十面体(图2)的总曲率分别为
和
,则![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d2fa9cb6397796d85c5089709797b943.png)
__________ 0(填“>”,“<”或者“=”).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/35e2d7c958e99bcd9d7f251c19ee3544.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d49f8a63ddbca52039fa9ab44cda6b29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/da15940a9c6bbbdb34b18b514e98ba31.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/25f64fa38725c136504f723019a18dc5.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e93fa313adc4ac7608ba9449fd755212.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d2fa9cb6397796d85c5089709797b943.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2023/1/6/546e186d-d223-48c4-ab66-31cc175434bd.png?resizew=256)
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8 . 如图,我们常见的足球是由若干个正五边形和正六边形皮革缝合而成.如果我们把足球抽象成一个多面体,它有60个顶点,每个顶点发出的棱有3条,设其顶点数V,面数F与棱数E,满足
(Euler's formula),据此判断,关于这个多面体的说法正确的是( )
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a098e3851f80b3d3c273d34416c4778e.png)
A.共有20个六边形 |
B.共有10个五边形 |
C.共有90条棱 |
D.共有32个面 |
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2022-12-03更新
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595次组卷
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4卷引用:11.1.3 多面体与棱柱-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)
(已下线)11.1.3 多面体与棱柱-【帮课堂】(人教B版2019必修第四册)黑龙江哈尔滨市第九中学校2021—2022年高一下学期期中数学试题(已下线)8.1 基本立体图形1(分层作业)-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)安徽省池州市贵池区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
9 . 中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图
).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图
是一个棱数为
的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上.则该半正多面体共有________ 个面.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bb69696a695cdb5e352d5dbbb7182b9a.png)
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名校
解题方法
10 . 近些年来,三维扫描技术得到空前发展,从而催生了数字几何这一新兴学科.数字几何是传统几何和计算机科学相结合的产物.数字几何中的一个重要概念是曲率,用曲率来刻画几何体的弯曲程度.规定:多面体在顶点处的曲率等于
与多面体在该点的所有面角之和的差(多面体的面角是指多面体的面上的多边形的内角的大小,用弧度制表示),多面体在面上非顶点处的曲率均为零.由此可知,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正方体在每个顶点有
个面角,每个面角是
,所以正方体在各顶点的曲率为
,故其总曲率为
.
(1)求四棱锥的总曲率;
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理:设简单多面体的顶点数为
,棱数为
,面数为
,则有:
.利用此定理试证明:简单多面体的总曲率是常数.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9609625b502348556ff8ba32deac8caa.png)
(1)求四棱锥的总曲率;
(2)表面经过连续变形可以变为球面的多面体称为简单多面体.关于简单多面体有著名欧拉定理:设简单多面体的顶点数为
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2022-09-19更新
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922次组卷
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7卷引用:FHsx1225yl158
(已下线)FHsx1225yl158(已下线)专题14 棱柱、棱锥和棱台-《重难点题型·高分突破》(苏教版2019必修第二册)2022年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题(已下线)第01讲 空间几何体的结构、三视图和直观图与空间几何体的表面积和体积(练)(已下线)8.1 基本立体图形2(分层作业)-【上好课】2022-2023学年高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)(已下线)第五篇 向量与几何 专题21 曲率与曲率圆 微点3 曲率与曲率圆综合训练(已下线)11.2 锥体(第1课时)(七大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂(沪教版2020必修第三册)