2 . 一平面简谐波以速度沿轴负方向传播。已知原点的振动曲线如图所示。试写出：
（1）原点的振动表达式；
（2）波动表达式；
（3）同一时刻相距的两点之间的位相差。
   

3 . 一个半径为r、质量为m的均质实心小圆柱被置于一个半径为R、质量为M的薄圆筒中，圆筒和小圆柱的中心轴均水平，横截面如图所示。重力加速度大小为g。试在下述两种情形下，求小圆柱质心在其平衡位置附近做微振动的频率：
（1）圆筒固定，小圆柱在圆筒内底部附近作无滑滚动；
（2）圆筒可绕其固定的光滑中心细轴转动，小圆柱仍在圆筒内底部附近作无滑滚动。

4 . 如图所示，一块长为的光滑平板PQ固定在轻质弹簧上端，弹簧的下端与地面固定连接。平板被限制在两条竖直光滑的平行导轨之间（图中未画出竖直导轨），从而只能地竖直方向运动。平板与弹簧构成的振动系统的振动周期。一小球B放在光滑的水平台面上，台面的右侧边缘正好在平板P端的正上方，到P端的距离为。平板静止在其平衡位置。水球B与平板PQ的质量相等。现给小球一水平向右的速度，使它从水平台面抛出。已知小球B与平板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，且碰撞过程中重力可以忽略不计。要使小球与平板PQ发生一次碰撞而且只发生一次碰撞，的值应在什么范围内？取

5 . 由于地球的自转及不同高度处的大气对太阳辐射吸收的差异，静止的大气中不同高度处气体的温度、密度都是不同的。对于干燥的静止空气，在离地面的高度小于20 km的大气层内，大气温度T_e 随高度的增大而降低，已知其变化率K·m^-1z为竖直向上的坐标。现考查大气层中的一质量一定的微小空气团（在确定它在空间的位置时可当作质点处理），取其初始位置为坐标原点（z = 0），这时气团的温度T、密度ρ、压强p都分别与周围大气的温度T_e、密度ρ_e、压强p_e 相等。由于某种原因，该微气团发生向上的小位移。因为大气的压强随高度的增加而减小，微气团在向上移动的过程中，其体积要膨胀，温度要变化（温度随高度变化可视为线性的）。由于过程进行得不是非常快，微气团内气体的压强已来得及随时调整到与周围大气的压强相等，但尚来不及与周围大气发生热交换，因而可以把过程视为绝热过程。现假定大气可视为理想气体，理想气体在绝热过程中，其压强p与体积V满足绝热过程方程。式中C和γ都是常量，但γ与气体种类有关，对空气，γ = 1.40。已知空气的摩尔质量μ = 0.029 kg • mol^-1，普适气体恒量R = 8.31 J • （ K • mol ）^-1.试在上述条件下定量讨论微气团以后的运动。设重力加速度g = 9.8 m·s^-2 ，z = 0处大气的温度T_e0 = 300 K。

6 . 惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的。负电荷中心与原子核重合。但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化（正负电荷中心不重合），从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用。下面我们采用一种简化模型来研究此问题。

当负电中心与原子核不重合时，若以x表示负电中心相对正电荷（原子核）的位移，当x为正时，负电中心在正电荷的右侧，当x为负时，负电中心在正电荷的左侧，如图1所示。这时，原子核的正电荷对核外负电荷的作用力f相当于一个劲度系数为k的弹簧的弹性力，即，力的方向指向原子核，核外负电荷的质量全部集中在负电中心，此原子可用一弹簧振子来模拟。
今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，相距为R，原子核正电荷的电荷量为q，核外负电荷的质量为m。因原子间的静电相互作用，负电中心相对各自原子核的位移分别为和，且和都远小于R，如图2所示。此时每个原子的负电荷除受到自己核的正电荷作用外，还受到另一原子的正、负电荷的作用。
众所周知，孤立谐振子的能量是守恒的，式中v为质量m的振子运动的速度，x为振子相对平衡位置的位移。量子力学证明，在绝对零度时，谐振子的能量为，称为零点振动能，，h为普朗克常量，为振子的固有角频率。试计算在绝对零度时上述两个有范德瓦尔斯相互作用的惰性气体原子构成的体系的能量，与两个相距足够远的（可视为孤立的、没有范德瓦尔斯相互作用的）惰性气体原子的能量差，并从结果判定范德瓦尔斯相互作用是吸引还是排斥。可利用当时的近似式，。

7 . 在一个横截面面积为S的密闭容器中，有一个质量为m的活塞把容器中的气体分成两部分。活塞可在容器中无摩擦地滑动，当活塞处于平衡时，活塞两边气体的温度相同，压强都是p。体积分别是V₁和V₂，如图所示。现用某种方法使活塞稍微偏离平衡位置，然后放开，活塞将在两边气体压力的作用下来回运动。整个系统可看作是恒温的。
（1）求活塞运动的周期，将结果用p、V₁、V₂、m和S表示。
（2）求气体温度t=0℃时的周期与气体温度t'=30℃时的周期之比值。

8 . 如图所示，有二平行金属导轨，相距l，位于同一水平面内（图中纸面），处在磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向竖直向下（垂直纸面向里）。质量均为m的两金属杆ab和cd放在导轨上，与导轨垂直。初始时刻，金属杆ab和cd分别位于x = x₀和x = 0处．假设导轨及金属杆的电阻都为零，由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数为L。今对金属杆ab施以沿导轨向右的瞬时冲量，使它获得初速。设导轨足够长，也足够大，在运动过程中，两金属杆之间距离的变化远小于两金属杆的初始间距，因而可以认为在杆运动过程中由两金属杆与导轨构成的回路的自感系数L是恒定不变的。杆与导轨之间摩擦可不计。求任意时刻两杆的位置x_ab和x_cd以及由两杆和导轨构成的回路中的电流i三者各自随时间t的变化关系。

9 . 一弹簧振子，两端为质量都是千克、大小不计的物体A、B，中间是一静止长度为、劲度系数为、质量可以忽略的理想弹簧，现此振子自某一高度、A端在下，竖直地自由下落至一水平桌面，开始下落时，A距桌面的高度为米，开始时弹簧无伸长或压缩，A与桌面发生弹性碰撞后跃离桌面，当A第二次接触桌面时，发现弹簧的压缩达到最大，求：
（1）弹簧劲度系数之值。
（2）A第二次与桌面接触时的速度。

10 . 图中是某种材料制成的小球，为某种材料制成的均匀刚性薄球壳。假设与的碰撞是完全弹性的，与桌面的碰撞是完全非弹性的。已知球壳的质量为，内半径为，放置在水平的、无弹性的桌面上。小球的质量亦为，通过一自然长度为的柔软的弹性轻绳悬挂在球壳内壁的最高处，如图所示。弹性轻绳被拉长时相当于劲度系数为的弹簧，且。起初将小球拉到球壳内的最低点处，然后轻轻释放。试详细地、定量地讨论小球以后的运动。