1 . 类比是科学思维中的重要方法。
（1）某同学做“探究弹力与弹簧形变量的关系”的实验，如图甲所示，实验操作规范，正确画出了弹簧弹力F和形变量x的图像，如图乙所示。他根据图像斜率求出弹簧的劲度系数为k。之后他思考该实验过程克服弹力做功等于弹性势能增量，并求出弹性势随x变化的表达式，因为这一过程弹力是变力做功，所以他类比了匀变速直线运动v-t图像求位移的微元求和法。请你利用这一方法写出弹性势能随x变化的表达式，取原长为弹性势能零势能点。
（2）当平行板电容器的两极板间是真空时，电容C与极板的正对面积S、极板间距离d的关系为，k为静电力常量。对给定的平行板电容器充电，当该电容器极板所带电荷量Q变化时，两极板间的电势差U也随之变化。
①在如图丙所示的坐标系中画出电容器极板间电势差U与带电量Q的关系图像。电容器储存的电能等于电源搬运电荷从一个极板到另一个极板过程中，克服电场力所做的功。这一过程与克服弹力做功等于弹性势能增量类似，与之类比，推导电容器储存的电能表达式。
②若保持平行板电容器带电量Q、极板正对面积S不变，两极板间为真空，将板间距离由增大到，需要克服电场力做多少功？
③如果我们把单位体积内的电场能定义为电场能量密度，用表示。试证明真空中平行板电容器的电场能量密度和两板间的电场强度平方成正比。（忽略两板外的电场）

2 . 某同学制作了一个“竖直加速度测量仪”，可以用来测量竖直上下电梯运行时的加速度，其构造如图（a）所示。把一根轻弹簧上端固定在小木板上，下端悬吊0.9N重物时弹簧下端的指针指木板上刻度为C的位置，把悬吊1.0N重物时指针位置的刻度标记为0，以后该重物就固定在弹簧上，和小木板上的刻度构成了一个“竖直加速度测量仪”。
（1）请在图中除0以外的6根长刻度线旁，标注加速度的大小，示数的单位用m/s²表示，加速度的方向向上为正、向下为负。说明标注的原理。
（2）如图（b）所示，若以小球的平衡位置0为坐标原点，竖直向下建立x轴。已知弹簧的劲度系数为k，弹簧始终处于弹性限度内。如果把弹性势能与重力势能的和称为系统的势能，并规定小球处在平衡位置时系统的势能为零，请根据“功是能量转化的量度”，证明：小球运动到0点下方x处时系统的势能。
（3）势能也叫位能，与相互作用的物体的相对位置有关。物体的重力势能总是相对于某一个水平面来说的，选择不同的参考平面，物体的重力势能的数值是不同的，在参考平面上方的物体重力势能是正值，在参考平面下方的物体重力势能是负值：请问弹簧的弹性势能可以是负值吗？请用学过的理论分析论证你的观点。

3 . 如图甲所示，一根轻质弹簧上端固定在天花板上，下端挂一小球（可视为质点），弹簧处于原长时小球位于O点。将小球从O点由静止释放，小球沿竖直方向在OP之间做往复运动，如图乙所示。小球运动过程中弹簧始终处于弹性限度内。不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）在小球运动的过程中，经过某一位置A时动能为E_k1，重力势能为E_P1，弹簧弹性势能为E_弹1，经过另一位置B时动能为E_k2，重力势能为E_P2，弹簧弹性势能为E_弹2。请根据功是能量转化的量度，证明：小球由A运动到B的过程中，小球、弹簧和地球组成的物体系统机械能守恒；
（2）已知弹簧劲度系数为k。以O点为坐标原点，竖直向下为x轴正方向，建立一维坐标系O-x，如图乙所示。
a．请在图丙中画出小球从O运动到P的过程中，弹簧弹力的大小F随相对于O点的位移x变化的图象。根据F-x图象求：小球从O运动到任意位置x的过程中弹力所做的功W，以及小球在此位置时弹簧的弹性势能 E_弹；（设弹簧在原长时弹性势能为0）
b．已知小球质量为m。求小球运动过程中瞬时速度最大值的大小v。

4 . 我们知道，处于自然状态的水都是向重力势能更低处流动的，当水不再流动时，同一滴水在水表面的不同位置具有相同的重力势能，即水面是等势面。通常稳定状态下水面为水平面，但将一桶水绕竖直固定中心轴以恒定的角速度ω转动，稳定时水面呈凹状，如图所示。这一现象依然可用等势面解释：以桶为参考系，桶中的水还多受到一个“力”，同时水还将具有一个与这个“力”对应的“势能”。为便于研究，在过桶竖直轴线的平面上，以水面最低处为坐标原点、以竖直向上为y轴正方向建立xOy直角坐标系，质量为m的小水滴（可视为质点）在这个坐标系下具有的“势能”可表示为。该“势能”与小水滴的重力势能之和为其总势能，水会向总势能更低的地方流动，稳定时水表面上的相同质量的水将具有相同的总势能。根据以上信息可知，下列说法中正确的是（　　）

A．与该“势能”对应的“力”的方向指向O点

B．与该“势能”对应的“力”的大小随x的增加而减小

C．该“势能”的表达式是选取了y轴处“势能”为零

D．稳定时桶中水面的纵截面为圆的一部分

5 . 如图甲所示，一轻质弹簧左端固定在墙壁上，右端与置于水平面上的质量为m的小滑块相连。在以下的讨论中小滑块可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，取弹簧原长时弹性势能为0，且空气阻力可忽略不计。
（1）若水平面光滑，以弹簧原长时小滑块的位置O为坐标原点，建立水平向右的坐标轴Ox，如图甲所示。
①已知弹簧的劲度系数为k，请写出弹簧弹力F与小滑块所在位置坐标x的关系式，并借助F-x 图像确定出将小滑块由O点缓慢拉到位置坐标x的过程中，弹簧弹力所做的功。
②小滑块在某轻质弹簧的作用下，沿光滑水平面在O点附近做往复运动，若从小物块向右运动通过O点时开始计时，请在图乙中定性画出小物块所受弹力F随时间t变化的关系图像；
若测得该弹簧的弹性势能E_p与其位置坐标x的关系曲线如图丙所示，其中E_p0和x₀皆为已知量，请根据图丙中E_p-x图像提供的信息求解本题中弹簧的劲度系数k′。
（2）若水平面不光滑，小滑块与水平面间的动摩擦因数为μ。如图丁所示，弹簧的劲度系数为k，O为弹簧原长位置，以距O点右侧 的O′为坐标原点，向右为正方向建立坐标轴O′x′。将小滑块沿水平面向右拉到O′右侧的P点，由静止释放小滑块，小滑块可以在水平面上往复运动并最终停下。已知重力加速度为g，并可认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等。
①证明小滑块被释放后第一次向左的运动的过程中，其受力特点符合以O′为平衡位置的简谐运动的受力条件。并分析如果小滑块在O点最左方停不住，则O到P点距离应满足什么条件；
② 若小滑块被释放后能第2次经过O点而不能第3次经过O点，试分析说明O′到P点距离又应满足什么条件。

6 . 如图甲所示，一轻质弹簧左端固定在墙壁上，右端与置于水平面上的质量为m的小滑块相连．在以下的讨论中小滑块可视为质点，弹簧始终在弹性限度内，取弹簧原长时弹性势能为0，且空气阻力可忽略不计．

（1）若水平面光滑，以弹簧原长时小滑块的位置O为坐标原点，建立水平向右的坐标轴Ox，如图甲所示．
①请在图乙中画出弹簧弹力F与小滑块所在位置坐标x的关系图像．
教科书中讲解了由v - t图像求位移的方法，请你借鉴此方法，并根据F-x图像推导出小滑块在x位置时弹簧弹性势能E_p的表达式．（已知弹簧的劲度系数为k）
②小滑块在某轻质弹簧的作用下，沿光滑水平面在O点附近做往复运动，其速度v的大小与位置坐标x的关系曲线如图丙所示，其中v_m和x₀皆为已知量，请根据图丙中v-x图像提供的信息求解本题中弹簧的劲度系数k′．
（2）若水平面不光滑，且已知小滑块与水平面之间的动摩擦因数为μ．仍以弹簧原长时小滑块的位置O为坐标原点，建立水平向右的坐标轴Ox，将小滑块沿水平面向右拉到距离O点为l₀的P点按住（l₀>μmg/k），如图丁所示．计算中可以认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，已知重力加速度为g，弹簧的劲度系数为k．
①若放手后小滑块第一次经过O点向左运动至最远点Q，求Q点与O点的距离，并分析如果小滑块在Q点停不住，l₀与μ、m和k等物理量之间应满足什么条件；
②若放手后小滑块第二次经过O点后在向右运动的过程中逐渐减速最终静止，求小滑块从P点开始运动的整个过程中所通过的总路程．

7 . 如图所示，内壁光滑的直圆筒固定在水平地面上，一轻质弹簧一端固定在直圆筒的底端，其上端自然状态下位于O点处．将一质量为m、直径略小于直圆筒的小球A缓慢的放在弹簧上端，其静止时弹簧的压缩量为x₀．现将一与小球A直径等大的小球B从距A小球3x₀的P处释放，小球B与小球A碰撞后立即粘连在一起向下运动，它们到达最低点后又向上运动，并恰能回到O点．已知两小球均可视为质点，弹簧的弹性势能为kx²，其中k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量．求：
（1）弹簧的劲度系数k；
（2）小球B的质量m_B；
（3）小球A与小球B一起向下运动时速度的最大值v_m．

8 . 如图所示，一长木板放置在水平地面上，一根轻弹簧右端固定在长木板上，左端连接一个质量为m的小物块，小物块可以在木板上无摩擦滑动．现在用手固定长木板，把小物块向左移动，弹簧的形变量为x₁；然后，同时释放小物块和木板，木板在水平地面上滑动，小物块在木板上滑动；经过一段时间后，长木板达到静止状态，小物块在长木板上继续往复运动．长木板静止后，弹簧的最大形变量为x₂.已知地面对长木板的滑动摩擦力大小为F_f.当弹簧的形变量为x时，弹性势能E_p＝kx²，式中k为弹簧的劲度系数．由上述信息可以判断(　　)

A．整个过程中小物块的速度可以达到

B．整个过程中木板在地面上运动的路程为

C．长木板静止后，木板所受的静摩擦力的大小不变

D．若将长木板改放在光滑地面上，重复上述操作，则运动过程中物块和木板的速度方向可能相同